Bài tập từ luận góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bài tập trắc nghiệm góc giữa mặt phẳng và đường thẳng, Các ví dụ tính góc giữa mặt phẳng và đường thẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:  

là góc được tạo bởi giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

 Cho đường thẳng d và mặt phẳng [P]. d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng [P]. Góc giữa Mặt phẳng [P] và đường thẳng d là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ là góc

Chú ý: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P] thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P] bằng 900

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P]

 Bước 1: Xác định giao điểm của d và mặt phẳng [P]: M

 Bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc của

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P] là:

Hình chiếu vuông góc:

H là hình chiếu vuông góc của A trên [P]

H là hình chiếu vuông góc của A trên [P]

Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc H của A:

1]      Nếu có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P]. Kẻ AH song song với đường thẳng d thì AH

H là hình chiếu vuông góc của A trên [P].

2]      Nếu không có sẵn đường thẳng vuông góc:

–          Chọn mặt phẳng [Q] chứa điểm A sao cho mp [Q] vuông góc với mp[P]

–          Từ A kẻ AH vuông góc với giao tuyến thì AH

 Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bài tập liên quan hình lăng trụ

Bài 01: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên AA’ = 3a. Xác định góc giữa A’C và mặt phẳng [ABC]

Bài 02: Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Xác định góc giữa AC’ và mặt phẳng [BB’C’C].

Bài 03: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, AA’ = 2a. Tính góc A’C và [ABCD]

Bài 04: 

Bài 01: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tâm O, SO vuông góc với đáy, gọi M, N là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc tạo bởi MN và mp [ABCD] là 600. Tính

1. Tính độ dài MN, SO
2. Tính góc giữa MN và [SBD]

Bài 02: Cho tứ diện SABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm O. SO = 2a vuông góc với đáy

1. Tính góc giữa SC và [ABC]
2. Tính góc giữa SC và [SAB]

Bài 03: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hinh vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính góc trong các trường hợp sau

1. Giữa cạnh bên SB, SC, SD và mặt đáy [ABCD]
2. SA và [SBD], SB và [ SAC], SC và [SBD]
3. AC và các mặt phẳng [SBC], [SCD]
4. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính góc tạo bởi SA và mặt bên [SMB]

Tự học là câu chuyện của cả đời người. Thông qua các bài tập các bạn hãy rèn luyện cho mình khả năng tự học của chính  mình. Sẽ chẳng có ai dạy cho bạn tất cả mọi điều trong cuộc sống của bạn. Tri thức và văn hóa của bạn do bạn tự trải nghiệm và rút kinh nghiệm . 

Các bài giảng của giáo sư cho dù có đầy đủ, súc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức đến đâu, thì về thực chất mà nói đó chẳng qua cũng vẫn chỉ là chương trình, là những lời chỉ dẫn tuần tự nhận thức của sinh viên. Người nào chỉ biết ngồi nghe giáo sư giảng chứ bản thân mình trong lòng không cảm thấy khát khao đọc sách, thì có thể nói tất cả những điều người ấy nghe giảng ở trường đại học cũng sẽ chỉ như một tòa nhà xây trên cát mà thôi.
– I.A. Gontcharov –

Nếu ở Hoa Kỳ chỉ có một lời để lưu truyền từ thế hệ phụ huynh đến thế hệ của con em họ thì đó chỉ là một câu gồm hai chữ Tự tân. Và nếu ở mỗi thành phố có một ngôi đền dành cho sự tự tân, thì đó là ngôi trường học của nơi đó.
– Ellen Goodman –

Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng của chương trình HHKG lớp 11. Bài toán này cùng với các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng đều sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Xem thêm:

1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng  90°.
• Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng .

Kí hiệu góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $[P]$ là \[ \left[d,[P]\right] \].

Nhận xét.

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ từ \[ 0^\circ \] đến \[ 90^\circ \]
• Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng \[ 0^\circ \]

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán. Xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $[P]$

Trong thực tế, chúng ta ít khi gặp tình huống đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $[P]$ hoặc nằm trong mặt phẳng $[P]$, vì khi đó góc giữa chúng bằng $0^\circ$. Còn nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $[P]$ thì góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Trường hợp còn lại, đường thẳng $d$ sẽ cắt và không vuông góc với $[P]$. Khi đó, chúng ta thực hiện 3 bước:

• Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $ [P]$, giả sử là điểm $ O $;
• Lấy một điểm $ A$ bất kì thuộc đường thẳng $ d$ và tìm hình chiếu vuông góc $ H$ của $ A$ lên $\left[ P\right]$;
• Tính góc $ \widehat{AOH}$, đây chính là góc cần tìm.

Chú ý. Đối với hình chóp, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc tạo bởi 3 điểm: đỉnh — điểm chung — chân đường cao hình chóp.

Ví dụ,

Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên \[ SA \] vuông góc với đáy. Hãy xác định góc giữa \[ SC\] và mặt phẳng \[ [ABC] \].

• đỉnh chính là điểm $S$
• điểm chung của cạnh $SC$ và mặt đáy $[ABC]$ chính là điểm $C$
• chân đường cao hình chóp là điểm $A$

Suy ra, góc giữa \[ SC\] và mặt phẳng \[ [ABC] \] là góc \[ \widehat{SCA} \].

Tương tự, các em cũng có thể dễ dàng tìm được góc giữa cạnh bên $SB$ và mặt đáy $[ABC]$ là \[ \widehat{SBA} \].

3. Ví dụ tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{6} $ và vuông góc với đáy $ [ABCD] $. Tính góc giữa:

1. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [ABCD] $;
2. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [SAB] $;
3. đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ [SAC] $;
4. đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ [SBC] $.

Hướng dẫn.

1. Để tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [ABCD] $, chúng ta lần lượt thực hiện 3 bước:
   • Giao điểm của đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [ABCD] $ là điểm $C$.
   • Trên đường thẳng $SC$, chọn một điểm và xác định hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng $[ABCD]$, ở đây chúng ta chọn điểm $S$ vì dễ thấy hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $ [ABCD] $ chính là $A$. [Do giả thiết cạnh $ SA$ và vuông góc với đáy $ [ABCD] $.
   • Như vậy, góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [ABCD] $ chính là góc $SCA$ và chúng ta đi tính số đo của góc này.
   • Xét tam giác vuông $SAC$ có $ SA=a\sqrt{6}$ và $AC=a\sqrt{2}$ [do $AC$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$] nên có \[ \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3} \] Suy ra \[ \widehat{SCA} = 60^\circ \] và đây chính là đáp số cần tìm.
2. Chứng minh được $CB$ vuông góc với $[SAB]$ [em nào chưa làm được thì có thể xem lại bài Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng]. Sau đó, làm theo đúng 3 bước trong lý thuyết ta được góc $\widehat{CSB}$. Đáp số $\arctan\frac{1}{\sqrt{7}}$.
3. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ thì chứng minh được $BO$ vuông góc với $[SAC]$. Góc cần tìm là $\widehat{BSO}$. Đáp số $ \arcsin\frac{1}{\sqrt{14}}$.
   
4. Trong mặt phẳng $[SAB]$, qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc và cắt $SB$ tại $H$. Chứng minh được $AH$ vuông góc với $[SBC]$ và tìm được góc giữa đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ [SBC] $ là $\widehat{ACH}$. Đáp số $\arcsin\frac{\sqrt{21}}{7} $.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a. $ Cạnh bên $ SA $ bằng $ 2a $ và vuông góc với đáy $ [ABC]. $

1. Tính góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ [ABC]. $
2. Tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [SAB]. $
3. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SC $ và $ AC. $
   • Tính góc giữa $ BM $ và mặt phẳng $ [ABC];$
   • Tính góc giữa $ SN $ với mặt phẳng $ [SAB]. $

Hướng dẫn.

1. Góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ [ABC] $ là góc $\widehat{SBA}$.
2. Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì chứng minh được $CH$ vuông góc với $[SAB]$. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ [SAB] $ là góc $CSH$.
3. Góc giữa đường thẳng $ BM $ và mặt phẳng $ [ABC]$ là $ \widehat{MBN} $có $ \tan\widehat{MBN}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
   
   Trong mặt phẳng $[ABC]$ kẻ $NK$ vuông góc với $AB$ tại $K$ [$NK$ song song với $CH$]. Dễ dàng chỉ ra được $NK$ vuông góc với $[SAB]$.

   Suy ra, góc giữa đường thẳng $ SN $ với mặt phẳng $ [SAB] $ là $ \widehat{NSK} $. Tính được $\tan\widehat{NSK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} $ và suy ra số đo góc cần tìm.

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Trung tuyến $ SI $ của tam giác đều $ SAB $ vuông góc với đáy $ [ABCD] $ của hình chóp. Chứng minh hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ tạo với mặt phẳng $ [SAB] $ hai góc bằng nhau. Tính góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ [SAB] $, trong đó $ M $ là trung điểm $ SD. $

Hướng dẫn. Hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ cùng tạo với mặt phẳng $ [SAB] $ góc $ 45^\circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên mặt phẳng $ [SAB] $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên mặt phẳng $ [SAB] $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ [SAB] $ bằng $ 30^\circ. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, tâm $ O $ và $ SO $ vuông góc với đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA $ và $ BC $. Biết góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ [ABCD] $ bằng $ 60^\circ $. Tính độ dài $ MN $ và $ SO $. Tính góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ [SBD] $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ song song với $ SO $ nên $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $[ABCD]$… Đáp số $ MN=\frac{a\sqrt{10}}{2},SO=\frac{a\sqrt{30}}{2};\sin\left[MN,[SBD]\right]=\frac{1}{\sqrt{5}} $