Các dạng bài hai đường thẳng chéo nhau và song song
|
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. KIẾN THỨC Cơ BẲN Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b, ta nói a và b là đồng phẳng. Có ba khả năng sau: * a và b cắt nhau tại M a song song với b a trùng với b Trường hợp 2. a và b chéo nhau. Tính châ't Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm ưên đường thẳng cho ưước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lí 2 (Về giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cho tứ diện ABCD. Gọi p, Q, R và s là bốn điểm lần lượt lâ'y trên bốn tạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm p, Q, R và s đồng phẵng thì Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy; Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy. ýiải Gọi (a) là mặt phẳng chứa p, Q, R và s. Ba mặt phẳng (a), (DAC), (BAC) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là SR, PQ và AC. Như vậy SR, QP và AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. Lí luận tương tự câu a, ta có PS, RQ, và BD đôi một song song hoặc đồng quy. Cho tứ diện ABCD và ba điểm p, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm s của AD và mật phẵng (PQR) trong hai trường hợp sau đây: a) PR song song với AC; b) PR cắt AC. íỹiải a) Nếu PR // AC thì QS // AC với s = (PQR) n AD. A Vậy s là giao điểm của đường thẳng qua Q song song với AC và đường thẳng AD. b) Gọi 1 = PR (T AC. Ta có (PQR) n (ACD) = IQ. Gọi s = IQ n AD, ta có s = AD n (PQR). 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm tủa tát tạnh AB, CD và G là trung điểm tủa đoạn MN. Tìm giao điểm A' tủa dường thẳng AG và mặt phẩng (BCD); Qua M kè đường thẳng Mx song song vdi AA' và Mx tắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M'. A' thẳng hàng và BM' = M'A' = A'N; t) Chứng minh GA = 3GA'. a) Gọi A' là giao điểm của BN và AG thì A’ là giao điểm của AG và mp(BCD). AA'c(ABN) MM7/AA' b) MM'c(ABN). Ta có B, M’, A’ là điểm chung của hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) nên B, M’, A' thẳng hàng. G là trung điểm NM GA' // MM' Trong tam giác NMM’, ta có: => A1 là trung điểm NM’. Tương tự trong tam giác BAA’, ta có: M là trung điểm BA ' MM' // AA' => M' là trung điểm BA'. Vậy BM’ = M'A' = A'N. c) Ta có ga'=4mm' 2 MM' = -*-AA' 2 GA’= -AA' 4 GA = 3GA' c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh HK // CD. Gọi M là điểm trên cạnh sc không trùng s. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (HKM) và (SCD). Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi K là điểm trên 2 cạnh SB sao cho SN = -- SB. 3 Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK). Xác định thiết diện của hình chóp mới mp(IJK). Tìm điều kiện đô"i với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. Show
A. Tóm tắt lí thuyết1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.Cho hai đường thẳng và trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với và : Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả và , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả và , khi đó ta nói và là hai đường thẳng chéo nhau. 2. Các định lí và tính chất.
B. Bài tậpDạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG Phương pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và thì giao tuyến của và là đường thẳng đi qua song song với và . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD B. là đường thẳng đi qua S C. là điểm S D. là mặt phẳng (SAD) Lời giải: Ta có Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và . A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD D.Cả A, B, C đều đúng b) Tìm điều kiện của và để thiết diện của và hình chóp là một hình bình hành. A. B. C. D.
Lời giải: a) Ta có là hình thang và là trung điểm của nên . Vậy với . b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác . Do là trọng tâm tam giác và nên ( là trung điểm của ). . Lại có . Vì nên là hình thang, do đó là hình bình hành khi . Vậy thết diện là hình bình hành khi . Dạng 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:
Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và . a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất A. song song với . B. chéo với . C. cắt với . D. trùng với . b) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. song song với . B. chéo với . C. cắt với . D. trùng với . Lời giải: a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên . Lại có là hình thang . Vậy . b) Trong gọi , trong gọi . Ta có . Vậy . Do . Ta có . Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. song sonng với . B. chéo với . C. cắt với . D. trùng với . b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo . A. B. C. D. Lời giải: a) Ta có . Vậy Tương tự Vậy Từ và suy ra . b) Ta có ; Do đó . Mà . Tính : Gọi Ta có , Mà . Từ suy ra Tương tự . Vậy . Dạng 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh song song hoặc cắt nhau, khi đó thuôc . Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được đồng qui. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. đôi một song song ( là giao điểm của và ). B. không đồng quy ( là giao điểm của và ). C. đồng qui ( là giao điểm của và ). D. đôi một chéo nhau ( là giao điểm của và ). b) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm đồng phẳng. B. Bốn điểm không đồng phẳng. C. MN, EF chéo nhau D. Cả A, B, C đều sai Lời giải: a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác. Vậy . Tương tự ta có nên thẳng hàng hay . Vậy minh đồng qui . b) Do nên và xác định một mặt phẳng. Suy ra đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh: a) Bốn điểm đồng phẳng. b) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm đồng phẳng. B. Bốn điểm không đồng phẳng. C. MN, EF chéo nhau D. Cả A, B, C đều sai b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và ). a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. đôi một song song ( là giao điểm của và ). B. không đồng quy ( là giao điểm của và ). C. đồng qui ( là giao điểm của và ). D. đôi một chéo nhau ( là giao điểm của và ). Lời giải: a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và . Ta có . Tương tự Lại có Từ và suy ra . Vậy bốn điểm đồng phẳng. b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và . Xét ba mặt phẳng và ta có : . Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng qui. |
