1] KIẾN THỨC NỀN TẢNG
Điểm cực đại, cực tiểu : Hàm số f liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left[ {a;{x_0}} \right]$ và $\left[ {{x_0};b} \right]$ . Khi đó :
Nếu $f’\left[ {{x_0}} \right]$ đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm ${x_0}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}$
Nếu $f’\left[ {{x_0}} \right]$ đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm ${x_0}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_0}$
2] VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 ]
Cho hàm số $y = \left[ {x – 5} \right]\sqrt[3]{{{x^2}}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
D. Hàm số không có cực tiểu
GIẢI
Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của y tại x=1 [tiếp tục màn hình Casio đang dùng]
Tóm lại $f’\left[ 2 \right] = 0$ và dấu của y’ đổi từ – sang + vậy hàm số y đạt cực tiểu tại x=2
Đáp án B là chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
- Tính đạo hàm : $y’ = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \left[ {x – 5} \right].\frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{3x + 2\left[ {x – 5} \right]}}{{3\sqrt[3]{x}}} = \frac{{5\left[ {x – 2} \right]}}{{3\sqrt[3]{x}}}$
- Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow 5\left[ {x – 2} \right] = 0 \Leftrightarrow x = 0$
$y’ > 0 \Leftrightarrow \frac{{5\left[ {x – 2} \right]}}{{3\sqrt[3]{x}}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x – 2 < 0\\x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.$
$y’ < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$
Vậy y’[2] = 0 và y’ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x=2
Bình luận: Trong các bài toán tính đạo hàm phức tạp thì cách Casio càng tỏ ra có hiệu quả vì tránh được nhầm lẫn khi tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm.
VD2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ]
Với giá trị nguyên nào của k thì hàm số $y = k{x^4} + \left[ {4k – 5} \right]{x^2} + 2017$ có 3 cực trị
A. k=1
B. k=2
C. k=3
D. k=4
GIẢI
- Tính đạo hàm $y’ = 4k{x^3} + 2\left[ {4k – 5} \right]x$
Ta hiểu: Để hàm số y có 3 cực trị thì y’=0 có 3 nghiệm phân biệt [khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào]
Ta chỉ cần giải phương trình bậc 3: $4k{x^3} + 2\left[ {4k – 5} \right]x = 0$ với $a = 4k,b = 0,c = 8k – 10,d = 0$ . Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình bậc 3: MODE 5 - Thử đáp án A với k=1
Ta thu được 3 nghiệm ${x_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};{x_2} = – \frac{{\sqrt 2 }}{2};{x_3} = 0$
Đáp án A là chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
- Tính đạo hàm $y’ = 4k{x^3} + 2\left[ {4k – 5} \right]x$
- Ta hiểu : Để hàm y có 3 cực trị thì y’=0 có 3 nghiệm phân biệt [khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào]$y’ = 0 \Leftrightarrow 4k{x^3} + 2\left[ {4k – 5} \right]x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4k{x^2} – \left[ {10 – 8k} \right] = 0\,\,\,\left[ 2 \right] \end{array} \right.$
- Để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có 2 nghiệm phân biệt khác 0
$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{18 – 8k}}{{4k}} > 0 \Leftrightarrow 0 < k < 2$. Vậy k=1 thỏa mãn - Bình luận : Đạo hàm là phương trình bậc 3 có dạng $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left[ {a \ne 0} \right]$ nếu có 3 nghiệm thì sẽ tách được thành $a\left[ {x – {x_1}} \right]\left[ {x – {x_2}} \right]\left[ {x – {x_3}} \right] = 0$ nên vế trái luôn đổi dấu qua các nghiệm. $ \Rightarrow $ Có 3 cực trị
Tuy nhiên nếu đạo hàm là phương trình bậc 3 chỉ có 2 nghiệm thì sẽ tách thành $a\left[ {x – {x_1}} \right]{\left[ {x – {x_2}} \right]^2} = 0$ và sẽ có 1 nghiệm kép. $ \Rightarrow $ có 1 cực trị
Mở rộng thêm: nếu đạo hàm là 1 phương trình bậc 3 có 1 nghiệm thì chỉ đổi dấu 1 lần $ \Rightarrow $ có 1 cực trị.
VD3-[Thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội lần 1 ]
Số điểm cực trị của hàm số $y = {\left| x \right|^3} – 4{x^2} + 3$ bằng :
A. 2
B. 0
C. 3
D. 4
GIẢI
- Tính đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối $\left[ {{{\left| x \right|}^3}} \right]’ = \left[ {{{\left[ {\sqrt {{x^2}} } \right]}^3}} \right]’ = \left[ {{{\left[ {{x^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}} \right]’ = \frac{3}{2}{\left[ {{x^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}.2x = 3x\left| x \right|$
Vậy $y’ = \left[ {{{\left| x \right|}^3} – 4{x^2} + 3} \right]’ = 3x\left| x \right| – 8x$ - Số điểm cực trị tương ứng với số nghiệm của phương trình y’=0. Ta sử dụng chức năng MODE 7 để dò nghiệm và sự đổi dấu của qua nghiệm.
VD4-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa ] Tìm tất các các giá trị thực của m để hàm số $y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left[ {{m^2} – 1} \right]x – 3{m^2} + 5$ đạt cực đại tại x=1
A. $\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.$
B. m= 2
C. m= 1
D. m=0
GIẢI
Vậy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x= 1 => m= 0 loại => Đáp án A hoặc D sai
Tương tự kiểm tra khi m= 2
Ta thấy y’ đổi dấu từ dương sang âm => hàm y đạt cực đại tại x=1 => Đáp án B chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
- Tính đạo hàm : $y’ = 3{x^2} – 6mx + 3\left[ {{m^2} – 1} \right]$
- Ta có: $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m – 1\\ x = m + 1 \end{array} \right.$
- Điều kiện cần: x=1 là nghiệm của phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m – 1 = 1\\ m + 1 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = 0 \end{array} \right.$
- Thử lại với m=2 khi đó $y’ = 3{x^2} – 12x + 9$ .
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.$ $y’ > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.$ và $y’ < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$ Vậy y’ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x=1 => Hàm y đạt cực đại tại x=1
Bình luận:Việc chọn giá trị m một cách khéo léo sẽ giúp chúng ta rút ngắn quá trình chọn để tìm đâp án đúng.
VD5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ]
Cho hàm số $y = a\sin x + b\cos x + x$ $\left[ {0 < x < 2\pi } \right]$ đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{\pi }{3}$ và $x = \pi $ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b\sqrt 3 $
A. $T = 2\sqrt 3 $
B. $T = 3\sqrt 3 + 1$
C. T=2
D. T=4
GIẢI
- Tính đạo hàm $y’ = \left[ {a\sin x + b\cos x + x} \right]’ = a\cos x – b\sin x + 1$
Hàm số đạt cực trị tại $x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow a\cos \frac{\pi }{3} – b\sin \frac{\pi }{3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}a – \frac{{\sqrt 3 }}{2}b + 1 = 0$ [1] - Hàm số đạt cực trị tại $x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow a\cos \pi – b\sin \pi + 1 = 0 \Leftrightarrow – a – 0b + 1 = 0$ [2]
- Từ [2] ta có a=1 . Thế vào [1] $ \Rightarrow $ $b = \sqrt 3 $
Vậy $T = a + b\sqrt 3 = 4$ $ \Rightarrow $ Đáp án D là chính xác
VD6-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ]
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x$
A. $2x + 3y + 9 = 0$
B. $2x + 3y – 6 = 0$
C. $2x – 3y + 9 = 0$
D. $ – 2x + 3y + 6 = 0$
GIẢI
Gọi 2 điểm cực trị của đồ thị là $A\left[ {{x_1};{y_1}} \right],B\left[ {{x_2};{y_2}} \right]$. Ta không quan tâm đâu là điểm cực đại, đâu là điểm cực tiẻu. Chúng ta chỉ cần biết đường thẳng cần tìm sẽ đi qua 2 điểm cực trị trên. ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình y’=0. Để tìm 2 nghiệm này ta sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2 MODE
Khi x=1 thì $y = \frac{4}{3}$ vậy $B\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$
Ta thấy đường thẳng $2x + 3y – 6 = 0$đi qua A và B $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B
Cách tham khảo: Tự luận
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là phần dư của phép chia cho y’
Tính $y’ = {x^2} – 4x + 3$
Thực hiện phép chia được : $\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x = \left[ {\frac{1}{3}x – \frac{2}{3}} \right]\left[ {{x^2} – 4x + 3} \right] – \frac{2}{3}x – 2$
Vậy phương trình cần tìm có dạng $y = – \frac{2}{3}x + 2 \Leftrightarrow 2x + 3y – 6 = 0$
Bình luận:Cách Casio có vẻ hơi dài hơn nhưng lại có ưu điểm tránh phải thực hiện phép chia y cho y’.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1$ đạt cực tiểu tại :
A. x= -1
B. x= 1
C. x=0
D. x=-2
Bài 2-[Thi thử THPT Yên Thế – Bắc Giang lần 1 ]
Giá trị của m để hàm số $y = – {x^3} – 2{x^2} + mx + 2m$ đạt cực tiểu tại x= -1 là :
A. m< -1
B. $m \ne – 1$
C. m= -1
D. m> -1
Bài 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ]
Tìm giá trị cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$
A. 4
B.1
C. 0
D. -1
Bài 4-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội ]
Đồ thị hàm số $y = {e^x}\left[ {{x^2} – 3x – 5} \right]$ có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1
B.0
C. 2
D. 3
Bài 5-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội ]
Hàm số $y = {\left| x \right|^3} – {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
A. 2
B.1
C. 3
D. 0
Bài 6-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa ]
Cho hàm số y= f[x] có đạo hàm $f’\left[ x \right] = x{\left[ {x – 1} \right]^2}\left[ {2x + 3} \right]$ . Số điểm cực trị của hàm số y= f[x] là :
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Bài 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ]
Cho hàm số $y = \left[ {x – 1} \right]{\left[ {x + 2} \right]^2}$ . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây.
Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + mx$ có 2 điểm cực trị trái dấu .
A. m< 0
B. 0 < m < 3
C. m < 3
D. Không có m thỏa
Bài 9-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội ]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m{x^4} + \left[ {m – 1} \right]{x^2} + 2$ có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu
A. m< 1 B. $\left[ \begin{array}{l} m \le 0\\ m > 1 \end{array} \right.$
C. m< 0
D. $m \ge 1$
Bài 10-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 ]
Tìm tập hợp tất cả các tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^3} + {x^2} + mx – m – 2$ có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành
A. $\left[ { – \propto ;0} \right]$
B. $\left[ { – \propto ; – 1} \right]\backslash \left\{ { – 5} \right\}$
C. $\left[ { – \propto ;0} \right]$
D. $\left[ { – \propto ;1} \right]\backslash \left\{ { – 5} \right\}$