Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Tài liệu Chứng minh hai đoạn thẳng song song sử dụng định lí Ta-lét Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Dạng bài: Chứng minh hai đường thẳng song song

A. Phương pháp giải

• Xét các đoạn thẳng tỉ lệ.

• Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

B. Ví dụ minh họa

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
Câu 1: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 15cm, CD = 20cm. Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD, F là giao điểm của MB và AC.

a. Chứng minh rằng EF song song với AB.

b. Tính độ dài EF.

Lời giải:.

a)

* Vì MD // AB (CD//AB) nên

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
(hệ quả định lý Ta – let)

* Vì CD // AB nên

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
(hệ quả định lý Ta – let)

Suy ra

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
(định lý Ta – let đảo) đpcm.

b) Vì EF // AB (cmt)

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng KL//AD.

Lời giải:

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Gọi M là trung điểm của BC, vì K là trọng tâm của ΔABC nên

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
(tính chất trọng tâm của tam giác), hay
Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Và L là trọng tâm của ΔBCD nên

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Từ (1) và (2) suy ra

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
nên KL//DA (Định lý Ta – let đảo)

Câu 3: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G. Chứng minh rằng: EG//CD

Lời giải:

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Lấy điểm E thuộc đường chéo AC. Kẻ EM//BC (M∈AB), EN//CD(N∈AD). Chứng minh MN//BD.

Câu 2: Cho ΔABC, lấy D tùy ý thuộc cạnh BC, M tùy ý thuộc cạnh AD, gọi I, K thứ tự là trung điểm BM, CM. Các tia DI, DK cắt AB, AC thứ tự tại E, F. Chứng minh IK//EF.

Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BC. K là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng IK//AB

Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB

Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC ở M và AB tại K. Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng:

a) MP//AB

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy.

Câu 6: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Lấy một điểm D bất kì trên đoạn thẳng AM, J là giao điểm của BD và AC. I là giao điểm của CD và AB. Chứng minh IJ//BC.

Câu 7: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh rằng: M, N, P, Q thẳng hàng.

Với Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải. 

một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó hoặc sử dụng tính chất nếu một góc là góc bẹt thì hai cạnh của góc ấy là hai tia đối nhau hay hai cạnh của góc này nằm trên một đường thẳng.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho , kéo dài trung tuyến BD đến F sao cho DF = BD và trung tuyến CE đến G sao cho EG = CE. Chứng minh ba điểm G, A, F thẳng hàng.

Giải

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Vì BD, CE là hai trung tuyến của ΔABC theo giả thiết nên D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB hay AD = DC, AE = EB. 

Từ giả thiết DF = BD, EG = CE suy ra ED là đường trung bình của hai tam giác ACG và ABF. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, ta được:

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

⇒ ba điểm G, A, F thẳng hàng (vì qua điểm A nằm ngoài đường thẳng ED chỉ có một đường thẳng song song với ED).

Ta cũng có thể giải thích lí do trên bằng cách khác:

Ta có

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
 vì là góc so le trong của ED//GA và ED//AF.

Áp dụng tính chất về góc vào ΔAED, thu được:

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
hay góc GAF là góc bẹt suy ra AG và AF là hai tia đối nhau tức là G, A, F thẳng hàng.

Ví dụ 2. Từ đỉnh A của ΔABC lần lượt kẻ các đường vuông góc AK, AH xuống các đường phân giác của

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8
 . Chứng minh HK//BC.

Giải

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Gọi giao điểm của AH, AK với đường thẳng BC lần lượt là E và D. 

Từ giả thiết suy ra BK vừa là đường phân giác vừa là đường cao của ΔABD  nên tam giác này cân tại B. CH vừa là đường phân giác vừa là đường cao của ΔAEC  nên tam giác này cân tại C. Theo tính chất của tam giác cân thì CH, BK là các đường trung tuyến của ΔAEC và ΔABD hay AH = HE, AK = KD, nên HK là đường trung bình của  ΔAED.

Áp dụng định lí đường trung bình vào ΔAED thu được HK//ED. 

Vậy HK//BC.

Ví dụ 3. Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K thứ tự là trung điểm của AD, BD, BC. Chứng minh ba điểm E, F, K thẳng hàng.

Giải

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Vì E, F, K thứ tự là trung điểm của AD, BD, BC theo giả thiết nên EF là đường trung bình của tam giác ABD, EK là đường trung bình của hình thang ABCD. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác ABD và hình thang ABCD, ta có:

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

⇒E,K,F  là ba điểm thẳng hàng. Vì từ điểm E ở ngoài đường thẳng AB chỉ kẻ được một đường thẳng song song với nó.

Ví dụ 4. Cho ΔABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh DE//HI và DE = HI.

Giải

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Từ giả thiết ta có ED, HI lần lượt là các đường trung bình của hai tam giác

ABC và GBC. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này, ta được:

 

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Ví dụ 5. Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh bên, trung điểm hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng.

Giải

Cách chứng minh hai cạnh song song lớp 8

Xét hình thang ABCD (AB//CD). 

Gọi E, P, Q, F lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC thì EF, EP, EQ thứ tự là các đường trung bình của hình thang ABCD, tam giác ABD và tam giác ACD. 

Áp dụnh định lí đường trung bình vào các tam giác và vào hình thang, ta được: EP//AB//CD; EQ//CD//AB; EF//AB//CD.

Suy ra bốn điểm E, P, Q, F thẳng hàng (vì từ điểm E ở ngoài hai đường thẳng AB//CD chỉ kẻ được một đường thẳng song song với hai đường thẳng đó).