Cách chứng minh trung điểm bằng đường trung tuyến

Đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.

Bạn đang xem: Cách chứng minh đường trung tuyến

Tam giác ABC có các đường trung tuyến AI, BM, CN

Các định lý

Định lý 1:Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

Định lý 2:Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ⅔ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

Định lý 3:Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng ⅓ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ:Tam giác ABC có G là trọng tâm

AG = 2/3 AI; BG = 2/3 BM; CG = 2/3 CN

GI = 1/3 AI; GM = 1/3 BM; GN = 1/3 CN

Tính chất

Tính chất1:Trong tam giác cân [hoặc tam giác đều] đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Xem thêm: Tuổi Đinh Mùi Hợp Với Tuổi Nào, Tuổi Đinh Mùi Kỵ Tuổi Gì

Ví dụ:Tam giác ABC cân có AD là đường trung tuyến

=> Diện tíchABD = ACD

Tính chất 2:Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng ½ cạnh huyền.

Ví dụ:Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM = MB = MC = 1/2 BC

Cách chứng minh đường trung tuyến

– Cách 1:Chứng minh đường đó nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện.

Ví dụ:Tam giác ABC có D là trung điểm BC

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

– Cách 2:Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ⅔ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

Ví dụ:Tam giác ABC có điểm G thỏa mãn AG = 2/3 AD [D ∈ BC]

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

– Cách 3:Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng ⅓ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ:Tam giác ABC có điểm G thỏa mãn GD = 1/3 AD [D ∈ BC]

⇒ M là trung điểm CD

2. Cách chứng minh trung điểm theo tính chất của tam giác

Phương pháp : Để chứng minh theo cách này thì trước hết tất cả chúng ta cần nắm vững các đặc thù tương quan đến trung điểm trong tam giác .

Cho tam giác ABC với M, N, P. lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó :

• AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB .
• 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
• 3 đoạn thẳng MN, NP, PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.

Tính chất trọng tâm : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì AG, BG, CG lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB. Suy ra :

Đường trung bình tam giác : Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 50% cạnh đáy tương ứng .
Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC .

Lời giải Xét Δ BCK có : BF ⊥ CK [ gt ] BE là phân giác góc B ⇒ BF cũng là phân giác góc B ⇒ BF vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác tam giác BCK ⇒ Δ BCK cân tại B ⇒ BC = BK Với BF là đường trung tuyến CF = FK Xét ΔCKA có :

CF = FK [ cmt ]

CD = DA [đường trung bình ABC]

Xem thêm: Cách xoay bảng trong Word [Xoay bảng 90 độ trong Word]

⇒ FD / / BA MD / / BA

Mà CD = DA nên

⇒ M là trung điểm của BC

3. Chứng minh trung điểm theo tính chất tứ giác đặc biệt

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm trong tứ giác ta phải nắm được một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt:

• Đường trung bình trong hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
• Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Đối với các hình như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất tương tự như hình bình hành.

Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kỳ nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN .

Lời giải : Vì ABCD là hình bình hành mà I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có : DI = MI

Xét ΔDIM và ΔBIN có :

DI = BI [ chứng minh trên ]

⇒ ΔDIM = ΔBIN [ g. c. g ]
Vậy IN = IM hay I là trung điểm của MN

4. Chứng minh trung điểm theo tính chất của đường tròn

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kể của đường tròn. Khi đó, nếu AB cắt MN, AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB cắt MN .
Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn O. Tiếp tuyến tại A và B của [ O ] cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của [ O ]. P. nằm giữa M và Q. song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng E là trung điểm PQ

Lời giải Vì MA, MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn [ O ] ⇒ MA = MB Xét ΔMAO và ΔMBO có MA = MB [ chứng minh trên ] MO là cạnh chung OA = OB [ nửa đường kính [ O ] ]

⇒ ΔMAO = ΔMBO [ c. c. c ]

⇒ EO vuông góc với dây cung PQ
⇒ E là trung điểm PQ

5. Cách chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng trục

Phương pháp: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.

Xem thêm: Cách xoay bảng trong Word [Xoay bảng 90 độ trong Word]

6. Chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng tâm

Phương pháp: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.

Hy vọng với những kỹ năng và kiến thức định nghĩa về trung điểm là gì và cách chứng minh trung điểm hoàn toàn có thể giúp bạn vận dụng vào làm bài tập đơn thuần hơn nhé

Source: //tmsquynhon.com.vn
Category: CÔNG NGHỆ