Cách khai triển phương trình bậc 3

Ví dụ, xét công thức x3 – 4x2 – 7x + 10 = 0.

Hằng số “d” là số không đi kèm với bất cứ biến số nào, trong trường hợp này biến số là “x”.

• Nhân tử của một số là những số mà ta có thể nhân chúng với một số khác để được một số khác. Trong trường hợp này, nhân tử của 10, hay “d,” là: 1, 2, 5, và 10.

READ:  Lời bài hát Chiếc đèn ông sao | L2r.vn

Tìm một nhân tử có thể khiến đa thức bằng 0.

Ta muốn xác định nhân tử mà khi thế nhân tử này vào biến “x”, đa thức sẽ bằng 0.

• Thử với nhân tử đầu tiên, 1. Thế “1” vào tất cả các biến “x” trong đa thức:
  [1]3 – 4[1]2 – 7[1] + 10 = 0
• Ta được: 1 – 4 – 7 + 10 = 0.
• Vì 0 = 0 nên ta có x = 1 là một nghiệm của đẳng thức.

Đảo vị trí.

Nếu x = 1, ta có thể sắp xếp lại đẳng thức cho khác đi một chút mà không thay đổi ý nghĩa của nó.

• “x = 1” tương đương với “x – 1 = 0” hoặc “[x – 1]”. Tức là ta đã thực hiện phép trừ đi 1 ở cả hai vế của phương trình.

Tách nghiệm ra khỏi phần còn lại của phương trình.

“[x – 1]” chính là nghiệm. Hãy thử tách nghiệm này ra khỏi phương trình xem có được không. Tiến hành với từng đa thức một.

• Ta có thể tách [x – 1] từ x3 không? Câu trả lời là không. Tuy nhiên, ta có thể mượn -x2 từ biến thứ hai và tiến hành tách nhân tử như sau: x2[x – 1] = x3 – x2.
• Ta có thể tách [x – 1] ra khỏi phần còn lại của biến thứ hai không? Một lần nữa câu trả lời là không. Ta cần mượn tiếp một phần của biến thứ ba. Lấy 3x từ -7x và nhóm nhân tử chung với phần còn lại của biến thứ hai, ta được -3x[x – 1] = -3x2 + 3x.
• Vì ta đã mượn 3x từ -7x, do đó, biến thứ hai sẽ trở thành -10x, chú ý hạng tử tự do là 10. Ta có thể phân tích nhân tử không? Câu trả lời là có: -10[x – 1] = -10x + 10.
• Ta đã tách và sắp xếp lại các biến sao cho có thể nhóm được [x – 1] ra làm hạng tử chung cho cả biểu thức. Nhìn tổng quát, ta có biểu thức sau khi tách x3 – x2 – 3x2 + 3x – 10x + 10 = 0, biểu thức này cũng tương đương với x3 – 4x2 – 7x + 10 = 0.

Tiếp tục thế nghiệm của hạng tử tự do.

Xét những số đã tách ra khi rút [x – 1] ra làm nhân tử chung ở bước 5:

• x2[x – 1] – 3x[x – 1] – 10[x – 1] = 0. Ta có thể sắp xếp lại đẳng thức này để dễ phân tích nhân tử hơn: [x – 1][x2 – 3x – 10] = 0.
• Đến đây, ta cần phân tích nhân tử đối với [x2 – 3x – 10]. Biểu thức này phân tích được thành [x + 2][x – 5].

Đáp án của phương trình chính là nghiệm đã được tách ra.

Ta có thể kiểm tra xem kết quả thu được có chính xác là nghiệm của phương trình hay không bằng cách thế giá trị tìm được vào các biến của đa thức ban đầu.

• [x – 1][x + 2][x – 5] = 0, tức là 1, -2 và 5 là nghiệm của đa thức.
• Thế -2 vào phương trình ban đầu ta được : [-2]3 – 4[-2]2 – 7[-2] + 10 = -8 – 16 + 14 + 10 = 0.
• Thế 5 vào phương trình ban đầu, ta được [5]3 – 4[5]2 – 7[5] + 10 = 125 – 100 – 35 + 10 = 0.

Cách tách phương trình bậc 3 thành phương trình tích bằng máy tính

Bạn cũng có thể tách phương trình bậc 3 một cách nhanh chóng hơn nhờ vào sử dụng máy tính bỏ túi Casio như sau:

Định lí về phân tích nhân tử khi biết tất cả các nghiệm của đa thức:

Đa thức $P\left[x\right]$ được viết dưới dạng: $P\left[x\right]=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_{}$ trong đó $a_n\ne$ là một đa thức bậc $n$ ký hiệu là $\mathrm{deg}P=n$.

$P\left[x\right]$ có nghiệm $x_1,x_2,...,x_n$ thì $P\left[x\right]=a_n[x-x_1][x-x_2]...[x-x_n].$

Ví dụ 1:Hàm số $f\left[x\right]=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt bằng $-3;-1;2.$ Tìm $f\left[x\right].$

Giải.Vì $f\left[x\right]$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-3;-1;2$ do đó $f\left[x\right]=\frac{1}{2}[x+3][x+1][x-2].$

Ví dụ 2:Đồ thị của hai hàm số $f\left[x\right]=a{x}^3+b{x}^2+cx+\frac{1}{2}$ và $g\left[x\right]=d{x}^2+ex+\frac{3}{4}$

cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ $-2;1;3.$ Tìm $h\left[x\right]=f\left[x\right]-g\left[x\right].$

Giải.Vì $h\left[x\right]=a{x}^3+[b-d]x^2+[c-e]x-\frac{1}{4}$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-2;1;3$ do đó $h\left[x\right]=a[x+2][x-1][x-3].$

So sánh hệ số tự do của $h\left[x\right]$ ta có $-\frac{1}{4}=a\left[2\right][-1][-3]\iff a=-\frac{1}{24}.$ Do đó $h\left[x\right]=-\frac{1}{24}[x+2][x-1][x-3].$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc ba có chứa tham số

Đa thức bậc ba $P\left[x\right]=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ tìm được một nghiệm đẹp $x=x_{}$ khi đó $P\left[x\right]=a[x-x_{}][x^2+rx+s]$ để tìm nhân tử $x^2+rx+s$ ta thực hiện bằng máy tính bỏ túi như sau:

READ:  Lời bài hát Anh còn nợ em cực hay | L2r.vn

MODE 2 [Vào môi trường số phức]

Nhập $\frac{P\left[x\right]}{a[x-x_{}]}-x^2$ và CALC với $x=i\left[ENG\right]$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P\left[x\right]=x^3+[m+1]x^2+[m^2+2m-1]x-3m^3+3m^2+m-1.$

Giải. Nhập phương trình bậc ba $x^3+[m+1]x^2+[m^2+2m-1]x-3m^3+3m^2+m-1=$ ẩn $x$ với $m=1000$ ta được một nghiệm đẹp $x=999=m-1.$

Vậy khi phân tích nhân tử thì $P\left[x\right]=[x-m+1][x^2+rx+s]$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $\frac{x^3+[m+1]x^2+[m^2+2m-1]x-3m^3+3m^2+m-1}{x-m+1}-x^2$

CALC với $x=i\left[ENG\right];m=1000$ ta được kết quả $2000i+2999999=2mx+3m^2-1.$

Vậy $rx+s=2mx+3m^2-1.$ Do đó $P\left[x\right]=[x-m+1][x^2+2mx+3m^2-1].$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc bốn có chứa tham số

Đa thức bậc bốn $P\left[x\right]=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ có nghiệm kép $x=x_{}$ khi đó $P\left[x\right]=a{[x-{}_{}]}^2[x^2+rx+s]$ để tìm nhân tử $x^2+rx+s$ ta thực hiện như sau:

MODE 2[Vào môi trường số phức]

Nhập $\frac{P\left[x\right]}{a{[x-{}_{}]}^2}-x^2$ và CALCvới $x=i\left[ENG\right]$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P\left[x\right]=x^4-x^3+x^2-[4m^3-3m^2+2m]x+3m^4-2m^3+m^2.$

Giải. Đa thức $P\left[x\right]$ có nghiệm kép $x=m$ do đó $P\left[x\right]={[x-m]}^2[x^2+rx+s]$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $\frac{x^4-x^3+x^2-[4m^3-3m^2+2m]x+3m^4-2m^3+m^2}{{[x-m]}^2}-x^2$

CALC với $x=i\left[ENG\right];m=1000$ ta được kết quả $1999i+2998001=[2m-1]x+3m^2-2m+1.$

Vậy $rx+s=[2m-1]x+3m^2-2m+1.$ Vậy $P\left[x\right]={[x-m]}^2[x^2+[2m-1]x+3m^2-2m+1].$