Cách tìm tiệm cận ngang bằng máy tính casio

Bài viết tiếp theo trong loạt bài hướng dẫn thủ thuật CASIO giải nhanh trắc nghiệm, trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu cách tìm tiệm cận của đồ thị hàm số bằng máy tính CASIO.

Xem thêm: [Thủ thuật casio] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trước tiên, chúng ta cần nhớ khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số, cơ bản như sau:

Nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \pm \infty \] hoặc \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = \pm \infty \] thì đường thẳng \[x = {x_0}\] gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[f\].

Nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\] hoặc \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\] thì đường thẳng \[y = {y_0}\] gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[f\].

Từ khái niệm này, ta rút ra một số nhận xét:

– Hàm số \[y = f\left( x \right)\] chỉ có thể có tiệm cận đứng khi \[f\left( x \right)\] có chứa mẫu.

– Để tìm tiệm cận đứng ta chỉ cần tìm nghiệm \[{x_0}\] của mẫu, sau đó tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) \]. Nếu ít nhất một trong hai kết quả là \[\infty \] thì ta kết luận đường thẳng \[x = {x_0}\] gọi là tiệm cận đứng.

– Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\]. Nếu kết quả của các giới hạn trên là một số hữu hạn \[{y_0}\] thì ta kết luận đường thẳng \[y = {y_0}\] gọi là tiệm cận ngang.

– Việc tính các giới hạn trên, ta chỉ cần sử dụng máy tính CASIO.

Ví dụ 1. Cho hàm số $$y = \frac{{x + 1 – \sqrt {1 – x} }}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}$$. Khẳng định nào sau đây về tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng $$y = 0$$.

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $$y = -1$$ và $$y = 1$$.

C. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $$y = -1$$.

D. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $$y = 1$$.

Hướng dẫn bấm máy:

Nhập vào máy: $$\frac{{x + 1 – \sqrt {1 – x} }}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}$$

Bấm CALC.

Máy hỏi X, nhập 9999999999, ấn =.

Máy sẽ báo lỗi Math ERROR (do điều kiện của hàm số là \[x < – 1\]). Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\] không tồn tại.

Tiếp tục bấm CALC.

Máy hỏi X, nhập -9999999999, ấn =. Được kết quả là \[ – \frac{{200005}}{{200003}} \simeq – 1\].

Vậy đáp án đúng là câu C.

Ví dụ 2. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $$y = \frac{3}{{3x + 1}} + \sqrt x $$ là

A.0.                      B. 1.                       C. 2.                      D. 3.

Hướng dẫn bấm máy:

Ta thấy mẫu có nghiệm là \[x = – \frac{1}{3}\].

Nhập máy: $$\frac{3}{{3x + 1}} + \sqrt x $$, bấm CALC, nhập \[ – \frac{1}{3} + 0.0000001\].

Máy báo lỗi Math ERROR nên không tồn tại giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^ + }} f\left( x \right)\].

Tương tự ta bấm CALC và nhập \[ – \frac{1}{3} – 0.0000001\] máy cũng sẽ báo lỗi nên cũng không tồn tại giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^ – }} f\left( x \right)\]

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Tiếp tục ấn CALC và nhập 9999999999 và -9999999999. Ta lần lượt nhận được các kết quả là \[ + \infty \] và thông báo lỗi.

Vậy đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang. Ta chọn đáp án A.

Xem thêm: [Thủ thuật casio] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Như vậy là chúng ta đã có thể dễ dàng tìm được tiệm cận của đồ thị hàm số bằng cách sử dụng máy tính để tính các giới hạn. Hy vọng thủ thuật này sẽ giúp các em giải được các bài toán liên quan một cách nhanh nhất.

Chúc các em ôn tập tốt.

 Lời giải tự luận

Ta nhắc lại về định nghĩa tiệm cận đứng, đường thẳng $latex x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $latex y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$latex \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \\ \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \\ \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \\ \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$

Quay trở lại bài toán trên, ta có tập xác định của $latex f(x)$ là: $latex D=[-9;+\infty )\backslash \{0;1\}$.

Ta có: $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=+\infty$ nên $latex x=-1$ là tiệm cận đứng

Mặc khác:

$latex \begin{align}   & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x} \\  & =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( \sqrt{x+9}-3 \right)\left( \sqrt{x+9}+3 \right)}{\left( {{x}^{2}}+x \right)\left( \sqrt{x+9}+3 \right)} \\  & =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+9-9}{\left( {{x}^{2}}+x \right)\left( \sqrt{x+9}+3 \right)} \\  & =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+9}+3 \right)} \\  & =\dfrac{1}{6} \\ \end{align}$

Nên $latex x=0$ không phải là tiệm cận đứng.

Vậy chỉ có 1 đường tiệm cận đứng do đó ta chọn đáp án D.

Chúng ta có thể xác định nhanh giới hạn của $latex f(x)$ bằng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX như sau:

Bước 1: Nhập biểu thức $latex f(x)$

• Cách bấm: as[+9$p3R[d+[
• Máy tính hiển thị:

Bước 2: Để tính $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}$ ta có thể CALC tại giá trị $latex x=-1+{{10}^{-6}}\approx -1$

• Cách bấm: as[+9$p3R[d+[==
• Máy tính hiển thị:

Từ kết quả ta dự đoán $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=+\infty$ nên $latex x=-1$ là một tiệm cận đứng.

Bước 3: Để tính $latex \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}$ ta có thể CALC tại giá trị $latex x=0+{{10}^{-6}}\approx 0$

• Cách bấm: !r0+10Kp6==
• Máy tính hiển thị:

Từ kết quả ta dự đoán $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=0,1666649544\approx \dfrac{1}{6}$ nên $latex x=0$ không là một tiệm cận đứng.

Các bạn tham khảo đồ thị của hàm số và đường tiệm cận đứng qua hình sau:

Trên đây diendanmaytinhcamtay.vn đã giới thiệu cho các bạn cách tìm tiệm cận đứng để giải bài toán tìm tiệm cận hàm số trong đề thi THPTQG 2018. Truy cập diễn đàn mỗi ngày để xem thêm nhiều bài toán ứng dụng hay về cách sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX.

Thuvienhoclieu.Com xin giới thiệu đến các bạn phương pháp tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số bằng máy tính casio giúp các bạn xác định được tiệm cận ngang của đồ thị có hàm số phức tạp. Các bạn hãy xem video nhé.

TRẮC NGHIỆM TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Định nghĩa: Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$nếu thỏa một trong hai điều kiện sau:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = {y_0}$

Phương pháp:

Bước 2.

+ Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = {y_0}$ bằng máy tính casio.  Nhập $f(x)$-> nhấn CALC -> chọn $x = {10^5}$.

+ Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f(x) = {y_0}$ bằng máy tính casio.  Nhập $f(x)$-> nhấn CALC -> chọn $x =  – {10^5}$.

Kết quả có 4 dạng sau:

+ Một số dương rất lớn, suy ra giới hạn bằng $ + \infty \,$.

+ Một số âm rất nhỏ, suy ra giới hạn bằng $ – \infty \,$.

+ Một số có dạng ${\rm{A}}{.10^{ – n}}$, suy ra giới hạn bằng $0$.

+ Một số có dạng bình thường là B. Suy ra giới hạn bằng B hoặc gần bằng B.

Câu 1. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{4x – 3}}{{2x – 5}}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4x – 3}}{{2x – 5}} = 2$$ \Rightarrow y = 2$là tiệm cận ngang

+ Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{4x – 3}}{{2x – 5}} = 2$$ \Rightarrow y = 2$là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 2

Câu 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{4x – 3}}{{6 – 5x}}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4x – 3}}{{6 – 5x}} =  – \frac{4}{5}$$ \Rightarrow y =  – \frac{4}{5}$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{4x – 3}}{{6 – 5x}} =  – \frac{4}{5}$$ \Rightarrow y =  – \frac{4}{5}$ là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y =  – \frac{4}{5}$

Câu 3. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{4{x^2} – 3}}{{1 + 5{x^3}}}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4{x^2} – 3}}{{1 + 5{x^3}}} = 0$$ \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{4{x^2} – 3}}{{1 + 5{x^3}}} = 0$$ \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$

Câu 4. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{4{x^2} – 3}}{{1 + 5x}}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4{x^2} – 3}}{{1 + 5x}} =  + \infty $$ \Rightarrow $ Đồ thị không có tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{4{x^2} – 3}}{{1 + 5x}} =  – \infty $$ \Rightarrow $ Đồ thị không có tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số không có  tiệm cận ngang .

Câu 5. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = x – \sqrt {{x^2} + x + 5} $

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x – \sqrt {{x^2} + x + 5} } \right) =  – \frac{1}{2}$$ \Rightarrow y =  – \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {x – \sqrt {{x^2} + x + 5} } \right) =  – \frac{1}{2}$$ \Rightarrow y =  – \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y =  – \frac{1}{2}$

Câu 6. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x + \sqrt {{x^2} + x – 5} }}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x – 3}}{{x + \sqrt {{x^2} + x – 5} }} = 1$$ \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2x – 3}}{{x + \sqrt {{x^2} + x – 5} }} =  + \infty $$ \Rightarrow $ trong trường hợp này không có tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y = 1$

Câu 7. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 7}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x – 7}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 2$$ \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2x – 7}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} =  – 2$$ \Rightarrow y =  – 2$ là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y =  – 2$

Câu 8. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{\left| {8{x^2} + 3x} \right|}}{{1 – 2x}}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left| {8{x^2} + 3x} \right|}}{{1 – 2{x^2}}} =  – 4$$ \Rightarrow y =  – 4$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{\left| {8{x^2} + 3x} \right|}}{{1 – 2{x^2}}} = 4$$ \Rightarrow y = 4$ là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y =  – 4$ và $y = 4$

Câu 9. Tìm số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\left| {{x^2} – 3} \right|}}$

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\left| {{x^2} – 3} \right|}} = 1$$ \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\left| {{x^2} – 3} \right|}} =  – 1$$ \Rightarrow y =  – 1$ là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y =  – 1$ và $y = 1$

Vậy ta chọn phương án C

Câu 10. Tìm số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2x + \sqrt {4{x^2} + 1} $

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) =  + \infty $$ \Rightarrow $trong trường hợp này không có tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {2x + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = 0$$ \Rightarrow y =  – 1$ là tiệm cận ngang

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là $y = 0$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 11. Tìm số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = x – \sqrt {2{x^2} + 5} $

Giải:

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x – \sqrt {2{x^2} + 5} } \right) =  – \infty $$ \Rightarrow $trong trường hợp này không có tiệm cận ngang

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {x – \sqrt {2{x^2} + 5} } \right) =  + \infty $$ \Rightarrow $trong trường hợp này không có tiệm cận ngang

Suy ra đồ thị hàm số không có cận ngang

Vậy ta chọn phương án A