Khi nói về diện tích tam giác chúng ta sẽ nghĩ đến công thức tính là lấy cạnh đáy nhân chiều cao và chia 2. Tuy nhiên, trên thực tế rất hiếm đề thi cho sẵn các thông tin về cạnh đáy, chiều cao để tính diện tích. Một số đề toán thay vào đó chỉ cho chiều dài 3 cạnh và yêu cầu tính diện tích theo dữ liệu đó. Lúc này, học sinh cần tìm đến công thức Heron để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh.
Công thức Heron là công thức toán học mang tên nhà toán học Heron của Alexandria. Công thức này được tìm thấy trong cuốn sách của ông mang tên Metrica, được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên.
Công thức Heron tính diện tích của một tam giác theo độ dài 3 cạnh được viết như sau:
- Gọi S là diện tích tam giác cần tính và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b và c.
- Ta có công thức Heron được viết: S = √p x [p – a] x [p – b] x [ p – c]
- Trong đó p là chu vi của nửa tam giác.
2. Hướng dẫn cách tính tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh theo công thức Heron
Như vậy, nhờ áp dụng công thức Heron đã được chứng minh ở trên chúng ta dễ dàng tính được diện tích tam giác khi biết 3 cạnh. Tuy nhiên, cách tính này cần làm nhiều bước, và mỗi bước cần được tính toán và ghi rõ ràng. Để có được đáp án đúng nhất khi áp dụng cách tính này các em học sinh nhớ thực hiện theo hướng dẫn sau của chúng tôi nhé.
2.1. Tính nửa chu vi tam giác
Bước đầu tiên để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh theo công thức Heron là tính nửa chu vi tam giác. Vì đây là thông số quan trọng nhất trong bài toán dạng này. Các em học sinh hãy nhớ, ở đây p là nửa chu vi, không phải toàn chu vi nhé.
Theo đó, chúng ta đã biết công thức tính chu vi tam giác là bằng tổng của độ dài 3 cạnh. Như vậy để tính nửa chu vi chúng ta lấy chu vi đã tính được đem chia 2.
Ví dụ đề toán cho biết độ dài ba cạnh lần lượt là 5 cm, 4 cm, và 3 cm, nửa chu vi sẽ là: p = [5 + 4 + 3] / 2 = 6 cm.
2.2. Thay các thông số vào công thức Heron tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh
Sau khi đã tính được nửa chu vi p, các em học sinh thay thông số này với chiều dài các cạnh cho sẵn vào công thức Heron.
- Cụ thể, ta có công thức Heron là S = √p x [p – a] x [p – b] x [ p – c]
- Lúc này ta sẽ thay lần lượt p = 6, a = 5, b = 4, c = 5.
- Vậy công thức tính diện tích hoàn chỉnh lúc này sẽ là: S = √6 x [6 – 5] x [6 – 4] x [ 6 – 3]
Lưu ý : Ở bước làm này học sinh hãy làm thật cẩn thận. Hãy luôn nhớ rằng p là nửa chu vi. Do đó, không được thay số toàn chu vi sẽ dẫn đến đáp án sai.
2.3. Tính các giá trị trong dấu ngoặc đơn
Sau khi có công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh ở trên, các em học sinh hãy tính giá trị trong dấu ngoặc đơn trước. Bước này cần làm trước khi tiến hành căn bậc hai toàn giá trị này.
Cụ thể, các em hãy lấy nửa chu vi trừ đi chiều dài của từng cạnh. Tiếp theo, nhân ba giá trị này với nhau.
Theo đề toán trên ta sẽ có giá trị là: S = √6 x [1 x 2 x 3] = √6 x 6
2.4. Tính diện tích tam giác hoàn chỉnh
Ở bước cuối cùng, các em học sinh hãy nhân hai giá trị bên dưới dấu căn với nhau. Sau đó, tìm căn bậc hai của chúng. Bạn sẽ tìm được kết quả diện tích tam giác theo đơn vị vuông.
Theo đề toán trên ta sẽ có giá trị là: S = √6 x 6 = √36 = 6 cm vuông.
Lưu ý : Bước cuối cùng này học sinh luôn nhớ nhân hai giá trị bên dưới dấu căn với nhau trước. Sau đó mới tiến hành căn bậc hai kết quả nhân này. Ngoài ra đáp án cần ghi là đơn vị vuông.
3. Cách tính diện tích tam giác đều cạnh 2a
Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh và 3 góc bằng nhau. Vì vậy khi biết một cạnh thì học sinh có thể suy ra chiều dài 2 cạnh còn lại. Như vậy, khi biết 3 cạnh của một tam giác học sinh hoàn toàn có thể áp dụng công tính tính diện tích Heron. Hoặc một cách tính khác mà chúng tôi sẽ giới thiệu chi tiết hơn.
3.1. Tính diện tích tam giác đều cạnh 2a theo công thức Heron
Vì tam giác đều cho biết 1 cạnh là 2a, thì ta sẽ suy ra được 2 cạnh còn là cũng là thông số 2a này. Như vậy, các bước còn lại các em học sinh thực hiện như hướng dẫn công thức Heron ở trên.
Lưu ý: Với bài toán này, học sinh cần thêm vào bước 1 bài viết là suy ra 2 cạnh còn lại bằng độ dài 2a. Do đây là tam giác đều nhé.
3.3. Tính diện tích tam giác đều 2a theo công thức có sẵn
Với bài toán tính diện tích hình tam giác đều mà mà chỉ cho biết một cạnh thôi thì các em học sinh áp dụng công thức như sau.
- Áp dụng công thức tính diện tích S = [a 2 ] x √3/4. Trong đó a là chiều dài cạnh của tam giác đều được bình thương lên và nhân với √3/4 tương đương 1,732.
- Ví dụ tính diện tích tam giác đều khi biết chiều dài cạnh 2a là 6 cm. Ta áp dụng công thức trên sẽ có S = 6 2 x √3/4 = 15,59 cm 2
Lưu ý: Vì bài toán này có dùng căn bậc hai nên học sinh cần dùng máy tính để tính chính xác kết quả. Hoặc trong trường hợp tính nhẩm có thể quy √3/4 tương đương 1,732. Ngoài ra, kết quả luôn ghi đơn vị vuông và làm tròn đến số thập phân thứ 2 nhé.
Ở trên là chi tiết cách diện tích tam giác khi biết 3 cạnh theo công thức Heron kèm bài giải chi tiết. Hy vọng thông tin này sẽ giúp các em học sinh tìm lời giải cho bài toán nhanh hơn. Mến chúc các em làm bài tập, bài thi thật tốt trong thời gian tới!
Đức Lộc
Với giải Bài 47 trang 84 SGK Toán lớp 8 Tập 2 được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 8. Mời các bạn đón xem:
Giải Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Video Giải Bài 47 trang 84 Toán 8 Tập 2
Bài 47 trang 84 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54cm2. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.
Lời giải:
Xét ΔABC có:
AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = 52 = BC2
⇒ ΔABC vuông tại A [Định lý Py – ta - go đảo]
⇒ Diện tích tam giác ABC là: S= 12AB.AC = 6 [cm2]
Theo giả thiết tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC suy ra:
A'B'AB = B'C'BC = C'A'CA =k
[với k là tỉ số đồng dạng].
Lại có tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng
⇒k2 = SA'B'C'SABC = 546 =9⇒k=3
⇒ A’B’ = 3.AB = 3.3 = 9 [cm]
B’C’ = 3.BC = 3.5 = 15 [cm]
C’A’ = 3.CA = 3.4 = 12 [cm]
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác A’B’C’ lần lượt là 9cm, 12cm, 15cm.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:
Câu hỏi 1 trang 81 Toán 8 Tập 2: Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng trong hình 47...
Bài 46 trang 84 Toán 8 Tập 2: Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng...
Bài 48 trang 84 Toán 8 Tập 2: Tính chiều cao của cột điện...
Bài 49 trang 84 Toán 8 Tập 2: Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau...
Bài 50 trang 84 Toán 8 Tập 2: Tính chiều cao của ống khói...
Bài 51 trang 84 Toán 8 Tập 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó...
Bài 52 trang 85 Toán 8 Tập 2: Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền...
Xin chào tất cả các bạn, trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách tính độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông.
Mặc dù có khá nhiều cách tính khác nhưng trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này, mình chỉ giới thiệu hai cách đơn giản nhất, cũng như được áp dụng nhiều nhất đó là định lí Py-ta-go và định lí hàm SIN.
I. Cạnh huyền là cạnh như thế nào?
Trước hết chúng ta cần biết rằng cạnh huyền chỉ có trong tam giác vuông, tam giác thường không bao giờ có cạnh này.
- Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông.
- Trong một tam giác vuông bất kì ta luôn có một cạnh huyền và hai cạnh góc vuông.
- Cạnh huyền là cạnh dài nhất.
Tùy thuộc vào giả thuyết của bài toán mà chúng ta sẽ lựa chọn và áp dụng công thức cho phù hợp nhất.
Trường hợp #1: Tính độ dài cạnh huyền biết độ dài hai cạnh góc vuông
Khi giả thuyết của bài toán đã cho độ dài hai cạnh góc vuông thì để tính độ dài của cạnh huyền chúng ta sẽ dựa vào định lí Py-ta-go
Trong một tam giác vuông bất kì chúng ta luôn có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Xét tam giác vuông ABC [vuông ở góc C] có CB=a, CA=b, AB=c
Sử dụng công thức: $c^2=a^2+b^2$
Trong đó:
- c là độ dài của cạnh huyền AB
- a là độ dài của cạnh góc vuông CB
- b là độ dài của cạnh góc vuông CA
=> Như vậy, để tính được độ dài của cạnh huyền chúng ta sẽ lấy căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Cụ thể là: $c=\sqrt{a^2+b^2}$
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có CB=2, CA=3 và góc ACB bằng 90 độ. Tính độ dài cạnh AB
Chúng ta có nhận xét tam giác đã cho là tam giác vuông [vuông ở góc C] và độ dài cạnh cần tính chính là độ cạnh huyền.
Lời Giải:
Áp dụng công thức $c=\sqrt{a^2+b^2}$ vào tam giác đã cho ta được $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
Vậy độ dài của cạnh cần tìm là $\sqrt{13}$ ĐVĐD
Trường hợp #2: Tính độ dài cạnh huyền biết độ dài một cạnh góc vuông và độ lớn góc đối
Khi giả thuyết của bài toán đã cho độ dài một cạnh góc vuông và độ lớn góc đối thì để tính được độ dài của cạnh huyền chúng ta sẽ dựa định lí hàm SIN.
Định lý hàm SIN biểu thị mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với giá trị SIN của các góc tương ứng và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Sử dụng công thức: $\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R$
Trong đó:
- $a=CB, b=CA, c=AB$
- $\alpha=\widehat{CAB}, \beta=\widehat{ABC}, \gamma=\widehat{BCA}$
- R độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Vì định lí hàm SIN áp dụng được với tam giác thường nên tất nhiên ta có thể áp dụng được với tam giác vuông.
Khả năng ứng dụng của định lí này là rất cao, tuy nhiên, trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này mình chỉ hướng dẫn các bạn ứng dụng nó để tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông mà thôi.
Ví dụ 2. Cho tam giác vuông ABC [vuông ở góc C] có CA=2 và góc ABC bằng 21.8 độ. Tính độ dài cạnh huyền AB
Để cho dễ chúng ta nên viết định lí hàm SIN một cách đầy đủ, rồi mới đọc lại bài toán xem bài toán cho gì, yêu cầu tìm gì?
- Bài toán đã cho $b=2, \beta=21.8^o$
- Bài toán yêu cầu tìm c [độ dài cạnh huyền AB]
Lời Giải:
Áp dụng định lí hàm SIN vào tam giác đã cho ta được $\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{2}{\sin 21.8^o}=\frac{c}{\sin 90^o}=2R$ hay $\frac{2}{\sin 21.8^o}=\frac{c}{\sin 90^o}$
Suy ra $c=\frac{2.\sin90^o}{\sin21.8^o} \approx 5.3$
=> Vậy độ dài cạnh cần tìm gần bằng 5.3 ĐVĐD
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông ABC [vuông góc ở C] có CB=5 và góc CAB bằng 68.2 độ. Tính độ dài cạnh huyền AB
Ví dụ 3 hoàn toàn tương tự như Ví dụ 2 [giả thuyết khác nhau nhưng kết quả sau giống nhau]
Mục đích của ví dụ này là giúp bạn ghi nhớ và rèn luyện kĩ năng áp dụng vào từng bài toán cụ thể.
Lời Giải:
Áp dụng định lí hàm SIN vào tam giác đã cho ta được $\frac{5}{\sin 68.2^o}=\frac{c}{\sin 90^o}$
=> $c=\frac{5.\sin90^o}{\sin68.2^o} \approx 5.3$
Vậy độ dài cạnh huyền cần tìm gần bằng 5.3 ĐVĐD
II. Lời kết
Thay cho lời kết, mình sẽ giới thiệu cho các bạn một số trường hợp đặc biệt, khi tam giác vuông rơi vào một trong các trường hợp bên dưới thì cách tính độ cạnh huyền sẽ đơn giản hơn nữa.
- Khi độ dài hai cạnh góc luôn là 3, 4 hoặc 5, 12 hoặc 8, 15 hoặc … thì độ dài cạnh huyền lần lượt là 5, 13, 17, … [bộ ba Py-ta-go]
- Khi có độ lớn hai góc là 45, 45 thì độ dài cạnh huyền sẽ bằng tích của căn hai và độ dài cạnh góc vuông
Okay, như vậy là qua bài viết này thì mình tin là bạn đã biết cách để tính độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông rồi đúng không 😀 Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
Đọc thêm:
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !