Bài viết dưới đây chia sẻ đến các bạn khái niệm hình nón cụt, công thức tính thể tích hình nón cụt, cách tính thể tích hình nón cụt và ví dụ cụ thể. Nếu các bạn đang tìm kiếm cách tính thể tích hình nón cụt chính xác nhất, vậy mời các bạn hãy cùng tham khảo bài viết dưới đây nhé.
Mời các bạn cùng tìm hiểu khái niệm hình nón cụt và cách tính thể tích hình nón cụt cùng với ví dụ cụ thể mà bài viết chia sẻ dưới đây.
Khái niệm hình nón cụt
Hình nón cụt được tạo ra từ hình nón như sau: cho tam giác AOC vuông ở O. Khi quay tam giác vuông này một vòng quanh cạnh OA ta sẽ được một hình nón. Cạnh OC quét đáy tạo thành một hình tròn tâm O bán kính OC. Trong khi đó, cạnh AC quét tạo thành mặt xung quanh của hình nón và cạnh AC được gọi là đường sinh của hình nón.
Từ hình nón đã được tạo thành, ta dùng một mặt phẳng song song đáy cắt qua hình nón, ta được một hình nón cụt.
Như vậy, hình nón cụt là hình có 2 đáy là hai hình tròn có bán kính to nhỏ khác nhau nằm trên hai mặt phẳng song song có đường nối tâm là trục đối xứng.
Công thức tính thể tích hình nón cụt
Giả sử ta có hình nón cụt với r1 và r2 lần lượt là bán kính hai đáy của hình nón cụt, h là chiều cao và l là độ dài đường sinh.
Ta có công thức tính thể tính hình nón cụt:
\[V = \frac{1}{3}\pi \left[ {{r_1}^2 + {r_2}^2 + {r_1}{r_2}} \right]h\]
Trong đó:
- V là thể tích hình nón cụt.
- r1, r2: hai bán kính của hai đáy hình nón cụt.
- h : Chiều cao nối giữa hai đáy của hình nón cụt.
- π: số Pi [3.14159265].
1. Để tính thể tích hình nón cụt các bạn cần dựa vào các dữ liệu đề bài cho sau đó các bạn tính r1, r2, h. Nếu các đề bài cho sẵn r1, r2, h thì các bạn thực hiện luôn bước 2.
2. Sau đó áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt:
\[V = \frac{1}{3}\pi \left[ {{r_1}^2 + {r_2}^2 + {r_1}{r_2}} \right]h\]
Và tính kết quả của thể tích.
Ví dụ
Cho hình nón cụt có đường kính hai mặt đáy lần lượt là 12 cm và 16 cm. Chiều cao nối giữa hai mặt đáy dài 7 cm. Tính thể tích hình nón cụt.
Giải
Đường kính hai mặt đáy lần lượt là 12 cm và 18 cm.
Vậy bán kính đáy \[{r_1} = \frac{{12}}{2} = 6cm;{r_2} = \frac{{18}}{2} = 9cm;h = 7cm\]
\[V = \frac{1}{3}\pi \left[ {{r_1}^2 + {r_2}^2 + {r_1}{r_2}} \right]h\]
\[ \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi .\left[ {{6^2} + {9^2} + 6.9} \right].7 = \frac{1}{3}\pi .\left[ {36 + 91 + 57} \right].7 = 1253,5c{m^3}\]
Vậy thể tích hình nón cụt xấp xỉ \[1253,5c{m^3}\]
Trên đây bài viết đã chia sẻ đến các bạn khái niệm hình nón cụt, công thức tính thể tích hình nón cụt và cách tính thể tích hình nón cụt với ví dụ cụ thể. Hi vọng các bạn sẽ hiểu và áp dụng tính thể tích hình nón cụt chuẩn nhất. Chúc các bạn thành công!
1. Các kiến thức cần nhớ
Hình nón
Hình nón cụt
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính diện tích, thể tích và các đại lượng liên quan của hình nón và hình nón cụt
Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức ở phần lý thuyết
* Cho hình nón có bán kính đáy $R = OA$, đường sinh $l = SA$, chiều cao $h = SO$. Khi đó :
+ Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi Rl.$
+ Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}.$
+ Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.$
+ Công thức liên hệ : ${R^2} + {h^2} = {l^2}$
* Cho hình nón cụt có các bán kính đáy là $R$ và $r,$chiều cao $h,$ đường sinh $l.$
+ Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi [R + r]l.$
+ Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = \pi [R + r]l + \pi {R^2} + \pi {r^2}.$
+ Thể tích: $V = \dfrac{1}{3}\pi h[{R^2} + Rr + {r^2}].$
Trong sách giáo khoa không đưa ra một định nghĩa cụ thể cho hình nón, tuy nhiên ta có thể hiểu khái niệm hình nón như sau:
Hình nón là hình được tạo ra khi quay tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.
Ví dụ: Khi quay một vòng tam giác vuông \[\Delta OAC\] quanh cạnh góc vuông \[AO\] ta được hình nón như sau:
Khi đó:
+] Cạnh góc vuông \[OC\] quét nên một hình tròn, gọi là đáy của hình nón.
+] Cạnh huyền \[AC\] quét nên mặt xung quanh của hình nón.
+] Mỗi vị trí của của \[AC\] là một đường sinh.
+] Điểm \[A\] gọi là đỉnh của hình nón.
+] Cạnh \[AO\] gọi là đường cao của hình nón.
Một số hình ảnh của hình nón trong thực tế:
Diện tích xung quanh của hình nón [edit]
Khai triển một hình nón ra như sau:
Phần thân nón là một hình quạt tròn có tâm là đỉnh nón, bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón.
Đáy của hình nón là một hình tròn nên diện tích hình tròn đáy có bán kính \[r\] là:
Độ dài đáy của hình nón là chu vi hình tròn và bằng \[2\pi r.\]
Lại có, độ dài cung hình quạt \[SAB\] bằng \[\dfrac{\pi l n}{180}.\] Do đó
\[2 \pi r= \dfrac{\pi l n}{180}\]
\[\Leftrightarrow r=\dfrac{l n}{360}\]
Diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích hình quạt tròn \[SAB\] có tâm \[S\] và bán kính \[l.\]
Do đó
\[S_{xq}=S_{SAB}=\dfrac{\pi l^2 n}{360}=\pi l . \dfrac{ln}{360}=\pi r l\]
Diện tích toàn phần bằng tổng diện tích hình quạt tròn \[SAB\] và hình tròn đáy \[[O].\]
\[S_{tp}=S_{xq}+S_{đ}=\pi r l+ \pi r^2.\ \square\]
Kết luận
Nếu hình nón có bán kính đáy \[r\] và độ dài đường sinh là \[l\] thì:
\[Sxq=\pi r l\]
\[S_{tp}=\pi r l+ \pi r^2\]
Thể tích của hình nón [edit]
Với hai dụng cụ , một hình trụ và một hình nón có đáy là hai hình tròn bằng nhau và cùng chiều cao. Múc đầy nước vào dụng cụ có dạng hình nón rồi đổ hết vào dụng cụ hình trụ thì thấy chiều cao của cột nước chỉ bằng \[\dfrac{1}{3}\] chiều cao của hình trụ và phải đổ \[3\] lần thì đầy hình trụ:
Do đó
\[V_{\text{nón}}=\dfrac{1}{3} V_{\text{trụ}}\]
Lại có, thể tích của hình trụ được tính bởi công thức
\[V_{\text{trụ}}=S.h=\pi r^2 h.\]
Vậy thể tích của hình nón là
\[V_{\text{nón}}=\dfrac{1}{3}. \pi r^2 h.\ \square\]
Kết luận:
Thể tích của hình nón có bán kính đáy \[r\] và chiều cao \[h\] được tính bằng công thức
\[V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h.\]
Hình nón cụt [edit]
Hình nón cụt có thể được tạo ra từ hình nón khi một mặt phẳng song song với đáy cắt một phần phía đỉnh của hình nón
Hay hình nón cụt được tạo ra khi quay hình thang vuông một vòng quanh cạnh bên vuông góc với hai đáy. Chẳng hạn, khi quay hình thang vuông \[ABCD\ [AB//CD]\] một vòng quanh cạnh \[AD\] ta được hình nón cụt như hình bên phải:
Khi đó:
+] Hai cạnh đáy của hình thang \[AB,\ CD\] quét nên hai hình tròn bán kính \[r_1\] và \[r_2\] gọi là hai đáy của hình nón cụt.
+] Cạnh bên [cạnh không vuông góc với đáy] \[CB\] quét nên mặt xung quanh của hình nón cụt.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt [edit]
Cắt hình nón lớn có bán kính đáy \[r_2,\] đường sinh \[l\] bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo thành hình nón nhỏ bán kính đáy \[r_1,\] đường sinh \[l_1\] và hình nón cụt có bán kính đáy \[r_1,\ r_2;\] đường sinh \[l_2\] như sau:
Khi đó \[l=l_1+l_2.\] Dễ thấy diện tích xung quanh của hình nón cụt \[[S_2]\] bằng hiệu diện tích xung quanh của hình nón lớn \[[S]\] và hình nón nhỏ \[[S_1]\] nên ta có:
\[S_2=S-S_1\]
\[\Leftrightarrow S_2=\pi r_2 l -\pi r_1 l_1\] \[[\] thay \[l=l_1+l_2]\]
\[\Leftrightarrow S_2=\pi r_2 [l_1+l_2] - \pi r_1 l_1\]
\[\Leftrightarrow S_2=\pi r_2l_1 + \pi r_2l_2 -\pi r_1 l_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ [1]\]
Lại có \[\Delta SIA \backsim \Delta SOB\] [g.g]
\[\Rightarrow \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{IA}{OB}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{l_1}{l}=\dfrac{r_1}{r_2}\]
\[\Leftrightarrow r_2 l_1=r_1 l\] \[[\] thay \[l=l_1+l_2]\]
\[\Leftrightarrow r_2l_1=r_1 [l_1+l_2]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [2]\]
Thay \[[2]\] vào vị trí của \[r_2l_1\] trong \[[1]\] ta được:
\[S_2=\pi r_1 [l_1+l_2] + \pi r_2 l_2 - \pi r_1 l_1\]
\[\Leftrightarrow S_2=\pi r_1 l_1 + \pi r_1 l_2 + \pi r_2 l_2 - \pi r_1 l_1\]
\[\Leftrightarrow S_2=\pi r_1 l_2 + \pi r_2 l_2 \]
\[\Leftrightarrow S_2= \pi [r_1+ r_2] l_2.\ \square\]
Kết luận
Diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ \[r_1,\] đáy lớn \[r_2\] và đường sinh \[l\] là:
\[S_{xq}=\pi [r_1+r_2] l\]
Thể tích của hình nón cụt [edit]
Cắt một hình nón lớn bán kính đáy \[r_2\] chiều cao \[h\] bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo thành một hình nón nhỏ bán kính đáy \[r_1\] chiều cao \[h_1\] và hính nón cụt đáy \[r_1,\ r_2;\] chiều cao \[h_2\] như sau:
Dễ thấy, thể tích của hình nón cụt \[[V]\] bằng hiệu thể tích của hình nón lớn \[[V_1]\] và hình nón nhỏ \[[V_2].\] Tức là:
\[V=V_1-V_2\]
\[\Rightarrow V=\dfrac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 - \dfrac{1}{3} \pi r_2^2 h_2\ \ \ \ \ \ \ [1]\]
Lại có \[\Delta SIA \backsim \Delta SOB\] [g.g]
\[\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{IA}{OB} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{h_2}{h_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\]
\[\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{h_2}{h_1-h_2}=\dfrac{r_2}{r_1-r_2}\\ \dfrac{h_1-h_2}{h_1}=\dfrac{r_1-r_2}{r_1} \end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{h_2}{h}=\dfrac{r_2}{r_1-r_2} \\ \dfrac{h}{h_1}=\dfrac{r_1-r_2}{r_1} \end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} h_2=\dfrac{hr_2}{r_1-r_2} \\ h_1=\dfrac{hr_1}{r_1-r_2} \end{array} \right.\ \ \ [2]\]
Thay \[[2]\] vào \[[1]\] ta được:
\[V=\dfrac{\pi}{3}.[r_1^2 h_1 - r_2^2 h_2]\]
\[\Leftrightarrow V= \dfrac{\pi}{3}. \left[r_1^2 .\dfrac{hr_1}{r_1 -r_2} - r_2^2. \dfrac{hr_2}{r_1-r_2} \right] \]
\[\Leftrightarrow V=\dfrac{\pi}{3}. \left[ \dfrac{h r_1^3}{r_1 -r_2} -\dfrac{h r_2^3}{r_1 - r_2} \right] \]
\[\Leftrightarrow V=\dfrac{\pi h}{3} .\dfrac{r_1^3 -r_2^3}{r_1-r_2}\]
\[\Leftrightarrow V=\dfrac{\pi h}{3}. \dfrac{[r_1-r_2][r_1^2+r_1 r_2 + r_2^2]}{r_1 -r_2}\]
\[\Leftrightarrow V=\dfrac{\pi h}{3} .[r_1^2 + r_1 r_2 +r_2^2]\]
\[\Leftrightarrow V=\dfrac{1}{3} \pi h [r_1^2+r_2^2+r_1r_2].\ \square\]
Kết luận
Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy \[r_1,\ r_2;\] đường cao \[h\] được tính theo công thức:
\[V=\dfrac{1}{3} \pi h [r_1^2+r_2^2+r_1r_2].\]