You're Reading a Free Preview
Pages 4 to 5 are not shown in this preview.
Trong toán học, phương pháp bình phương tối thiểu [ Ordinary least square], còn gọi là bình phương nhỏ nhất hay bình phương trung bình tối thiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số thống kê [error] giữa đường khớp và dữ liệu.
Nội dung này giải thích tại sao tên của phương pháp là bình phương tối thiểu.
Đôi khi thay vì tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương, người ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương trung bình:
χ 2 = 1 n ∑ i = 1 n [ y i − f [ x i ] ] 2 . {\displaystyle \chi ^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}[y_{i}-f[x_{i}]]^{2}.}Điều này dẫn đến tên gọi bình phương trung bình tối thiểu.
Bài toán thường có lời giải đáng tin cậy khi số lượng các tham số pj nhỏ hơn số lượng các dữ liệu [m < n].
Trong trường hợp, f là hàm tuyến tính của các tham số pj, bài toán trở nên đơn giản hóa rất nhiều, rút gọn thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính. Xem thêm bình phương tối thiểu tuyến tính.
Nếu f không là hàm tuyến tính của các tham số, bài toán trở thành một bài toán tối ưu hóa tổng quát. Bài toán tổng quát này có thể dùng các phương pháp như phương pháp tối ưu hóa Newton hay phương pháp trượt dốc. Đặc biệt thuật toán Gauss-Newton hay thuật toán Levenberg-Marquardt là thích hợp nhất cho bài toán bình phương tối thiểu tổng quát này.
Trong hồi quy tuyến tính, người ta thay biểu thức:
f[xi] ≈ yibằng
với hệ số nhiễu ε là biến ngẫu nhiên có giá trị kỳ vọng bằng 0.
Trong biểu thức của hồi quy tuyến tính x được đo chính xác, chỉ có y chịu nhiễu loạn ε. Thêm nữa, hàm f tuyến tính với các tham số pj.
Nếu f không tuyến tính với các tham số thì có hồi quy phi tuyến, một bài toán phức tạp hơn nhiều hồi quy tuyến tính.
- Bình phương tối thiểu có trọng số
- Hồi quy tuyến tính
- ^ Bretscher, Otto [1995]. Linear Algebra With Applications [ấn bản 3]. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
- ^ Stigler, Stephen M. [1981]. “Gauss and the Invention of Least Squares”. Ann. Stat. 9 [3]: 465–474. doi:10.1214/aos/1176345451.
- Least Squares Fitting [Regression] – Đại học Saint John's
- ZunZun.com – tối ưu hóa dữ liệu 2D và 3D
- General Least-Squares – Direct Solutions and Bundle Adjustments