CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [97.36 KB, 15 trang ]
Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi m∈ ¡
a]. m [ x − 1] [ x + 2] + 2x + 1 = 0 [1]
b]. [ 4m + 1] x3 − [ m + 1] x + m = 0 [1]
[
][
]
c]. m3 − 1 x2001 − 1 [ x + 2]
2002
+ 2x + 3 = 0 [1]
d]. cosx + mcos2x = 0
a]. m [ x − 1] [ x + 2] + 2x + 1 = 0 [1]
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = m [ x − 1] [ x + 2] + 2x + 1 .
Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên
tục trên R.
Ta có f [ −2] = m [ −2 − 1] [ −2 + 2] + 2[ −2] + 1 = −3 và có
f [ 1] = m [ 1− 1] [ 1+ 2] + 2.1+ 1 = 3 . Vì f [ −2] .f [ 1] = −3.3 = −9 < 0 với mọi m.
Do đó f [ x] = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng x0 ∈ [ −2,1] với mọi
m.
Kết luận phương trình [1] luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
b]. [ 4m + 1] x3 − [ m + 1] x + m = 0 [1]
Đặt f [ x] = [ 4m + 1] x3 − [ m + 1] x + m . Tập xác định của hàm số f[x] là D = R .
Vì f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
Ta có f [ 0] = m và có f [ −1] = [ 4m + 1] [ −1] − [ m + 1] [ −1] + m = −2m . Từ đó suy
3
ra f [ −1] .f [ 0] = −2m2 < 0 ∀m ≠ 0 ⇒ f [ x] = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm
x0 ∈ [ −1;0]
Xét trường hợp: m = 0
[ 4.0+ 1] .x3 − [ 0+ 1] x + 0 = 0 ⇔ x3 − x = 0 ⇔ x = ±1
∨x= 0
Kết luận phương trình [1] luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
[
][
]
Đặt f [ x] = [ m − 1] [ x
c]. m3 − 1 x2001 − 1 [ x + 2]
3
2001
2002
+ 2x + 3 = 0 [1]
]
− 1 [ x + 2]
2002
+ 2x + 3 . Tập xác định của hàm số f[x]
là D = R . Vì f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
[
]
2001
2002
3
− 1 [ −2 + 2]
+ 2[ −2] + 3 = −1.
Ta có: f [ −2] = m − 1 [ −2]
[
][
]
Ta có: f [ 1] = m3 − 1 12001 − 1 [ 1+ 2]
Vì f [ −2] f [ 1] = −5 < 0 với mọi m.
20002
+ 2.1+ 3 = 5
⇒ f [ x] = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 ∈ [ −2;1] với mọi m.
Kết luận phương trình [1] luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
[
]
2
d]. cosx + mcos2x = 0 ⇔ cosx + m 2cos x − 1 = 0 [1]
[
]
2
Đặt f [ x] = cosx + m 2cos x − 1 . Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì
f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
1
x=
cosx =
1
2
2
2
2cos
x
−
1
=
0
⇔
cos
x
=
⇔
⇔
Chọn nghiệm, cho
2
cosx = − 1
x =
2
π
4
3π
4
π
π
π
2
Ta có: f ÷ = cos + m 2cos2 − 1÷ =
4
4
4
2
3π
3π
2
2 3π
− 1÷ = −
.
Ta có: f
÷ = cos + m 2cos
4
4
4
2
π 3π
2
2
1
. −
÷ = − < 0 ⇒ f [ x] luôn có ít nhất 1 nghiệm
Vì f ÷.f
÷=
÷
4
4
2
2
2
π 3π
x0 ∈ ; ÷ . Kết luận phương trình [1] luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
4 4
Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
a]. x3 − 5x2 + 7 = 0
b]. x5 + x − 3 = 0
LỜI GIẢI
a]. Đặt f [ x] = x − 5x + 7 . Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì f[x] là
3
2
hàm đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
Ta có f [ −1] = −1− 5.1+ 7 = 1 và f [ −2] = −21, nên suy ra f [ −1] f [ −2] = −21 < 0 với
mọi m. Do đó f [ x] = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 ∈ [ −2; −1] với mọi m.
b]. Đặt f [ x] = x5 + x − 3 . Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì f[x] là
hàm đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
Ta có f [ 1] = −1 và có f [ 2] = 31 , nên suy ra f [ 1] f [ 2] = 31.[ −1] = −31 < 0 với
mọi m.
Do đó f [ x] = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm n0 ∈ [ 1;2] với mọi m.
Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
a]. 4x4 + 2x2 − x − 3 = 0
b].
x5 + x4 − 2x3 + 4x2 − 1 = 0
LỜI GIẢI
a]. Đặt f [ x] = 4x4 + 2x2 − x − 3 . Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì
f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
Ta có f [ 0] = −3 , f [ −1] = 4, f [ 1] = 2
Vì f [ −1] f [ 0] = −12 < 0,∀m ⇒ phương trình [ 1] luôn có ít nhất 1 nghiệm
∈ [ −1;0]
[ 2]
Vì f [ 0] f [ 1] = −6 < 0 ∀m ⇒ phương trình [ 1] có ít nhất 1 nghiệm
∈ [ 0;1] [ 3]
Từ [ 2] ,[ 3] ⇒ phương trình [1] luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.
Chứng minh phương trình x2 cosx + xsinx + 1 = 0 [ 1] có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng [ 0;π ]
Đặt f [ x] = x cosx + xsin x + 1
LỜI GIẢI
2
Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên
tục trên R.
Ta có f [ 0] = 02.cosx + 0.sin0 + 1 = 1 và f [ π ] = π2.cos π + π.sin π + 1 = −9 .
Vì f [ 0] f [ π ] = −9 < 0 ⇒ phương trình [ 1] có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
[ 0; π ] .
Chứng minh phương trình x3 + x + 1 = 0
[ 1]
có ít nhất một nghiệm âm lớn
hơn −1 .
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = x + x + 1 . Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì f[x] là hàm
3
đa thức ⇒ f [ x] liên tục trên R.
Ta có: f [ −1] = −1 , và f [ 0] = 1 . Từ đó suy ra f [ −1] f [ 0] = −1 < 0 . Vậy phương
trình [1] luôn có nghiệm thuộc khoảng [ −1;0] .
Kết luận phương trình [ 1] luôn có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn −1 .
Cho hàm số f [ x] = ax2 + bx + c[ c ≠ 0] và 3a + 4b + 6c = 0 . Chứng minh phương
trình f [ x] = 0 luôn có nghiệm thuộc khoảng [ 0;1] .
f [ x] = ax2 + bx + c[ c ≠ 0]
LỜI GIẢI
Tập xác định của hàm số f[x] là D = R . Vì f[x] là hàm đa thức ⇒ f [ x] liên
tục trên R.
Ta có f [ 0] = c và f [ 1] = a + b + c
−3a − 4b
6
−3a − 4b
−3a − 4b
3a + 4b 3a + 2b
×
Ta có : f [ 0] f [ 1] = c[ a + b + c] =
a+ b+
÷= −
6
6
6
6
Theo đề bài có 3a + 4b + 6c = 0 ⇒ c =
1
f
x
=
Cho hàm số [ ] x
−1
x≠ 0
x=0
a]. Chứng minh f [ −1] f [ 2] < 0
b]. Chứng minh phương trình f [ x] = 0 không có nghiệm thuộc khoảng
[ −1;2]
LỜI GIẢI
1
⇒ f [ −1] f [ 2] < 0
2
b. Vì hàm số f [ x] không liên tục trên [ −1;2] ⇒ f [ x] không có nghiệm
a. Ta có f [ −1] = −1 và f [ 2] =
n0 ∈ [ −1;2]
6. Chứng minh rằng phương trình cos5 x + cosx − 1 = 0 có nghiệm.
LỜI GIẢI
Đặt cosx = t [ −1 ≤ t ≤ 1] , phương trình đã cho trở thành t5 + t − 1 = 0
[ ∗]
Hàm số f [ t] = t5 + t − 1 liên tục trên R.
Ta có : f [ 1] = 1,f [ −1] = −3.
Do f [ 1] .f [ −1] = −3 < 0 , suy ra phương trình [ ∗] có nghiệm thuộc [ −1;1]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
7. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm:
a] x4 − 4x + 1 = 0
b] 2x5 + 3x + 3 = 0 c] x4 − 4x3 − 2 = 0
d]
5x3 + 10x + 6 = 0
LỜI GIẢI
a]. Đặt f [ x] = x − 4x + 1 thì f [ x] liên tục trên R và f [ 0] = 1;f [ 1] = −2.
4
Hàm số f [ x] liên tục trên R, có f [ 0] .f [ 1] < 0 suy ra phương trình có
nghiệm thuộc khoảng [ 0;1] . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
b]. Đặt f [ x] = 2x5 + 3x + 3 thì f [ x] liên tục trên R và f [ −1] = −2;f [ 0] = 3.
Hàm số f [ x] liên tục trên R, có f [ −1] .f [ 0] < 0 suy ra phương trình có
nghiệm thuộc khoảng [ −1;0] , suy ra phương trình có nghiệm.
c]. Đặt f [ x] = x4 − 4x3 − 2 thì f [ x] liên tục trên R và f [ −1] = 3;f [ 0] = −2.
Hàm số f [ x] liên tục trên R, có f [ −1] .f [ 0] < 0 suy ra phương trình có
nghiệm thuộc khoảng [ −1;0] . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
d]. Đặt f [ x] = 5x3 + 10x + 6 thì f [ x] liên tục trên R và f [ −1] = −9;f [ 0] = 6.
Hàm số f [ x] liên tục trên R, có f [ −1] .f [ 0] < 0 suy ra phương trình có
nghiệm thuộc khoảng [ −1;0] . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
10. Chứng minh rằng nếu
a b c
+ +
= 0;k > n > m > 0 và km ≤ n2 thì
k n m
phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng [ 0;1] .
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = ax + bx + c thì f [ x] liên tục trên R.
2
n
n2
n
Ta có f [ 0] = c;f ÷ = a. 2 + b. + c
k
k
k
n2 a b c
n
n2
n2
a b c
⇒ f [ 0] .f ÷ = c + + ÷+ c 1−
÷ = c2 1−
÷ [do + +
=0 ]
÷
÷
km
km
k n m
k k n m
k
Vì c2 ≥ 0;n2 ≥ km > 0 ⇒
n
n2
n2
2
÷≤ 0
≥ 1 do đó f [ 0] .f ÷ = c 1−
km ÷
km
k
-Với c = 0: phương trình đã cho [ kí hiệu là phương trình [ 1] trở thành
ax2 + bx = 0
Suy ra x = 0 hoặc ax + b = 0.
[ 2]
+Nếu a = 0 thì từ c = a = 0 và điều kiện
a b c
+ +
= 0 suy ra b = 0 . Khi đó
k n m
phương trình [ 2] có nghiệm là ∀x ∈ R , suy ra phương trình [ 1] có
nghiệm x ∈ [ 0;1]
+ Nếu a ≠ 0 thì b ≠ 0 [vì nếu b = 0,c = 0 thì từ điều kiện
ra a = 0 ]
suy ra phương trình [ 2] có nghiệm x = −
Khi đó từ điều kiện
x= −
b n
= ∈ [ 0;1]
a k
a b c
+ +
= 0 suy
k n m
b
a
a b c
+ +
= 0;k > n > m > 0 và c = 0 suy ra
k n m
Do đó phương trình [ 1] có nghiệm x ∈ [ 0;1]
-Với 1−
n
n2
n
= 0⇒ f ÷= 0⇒
là nghiệm thuộc [ 0;1] .
km
k
k
- Với c ≠ 0 và 1−
n
n2
≠ 0 ⇒ f [ 0] .f ÷ < 0 ⇒ f [ x] có ít nhất một nghiệm
km
k
n
thuộc khoảng 0; ÷
k
n
n
Mà 0; ÷ ⊂ [ 0;1] [vì 0 < < 1 ] nên phương trình [ 1] có nghiệm x ∈ [ 0;1]
k
k
Vậy phương trình [ 1] luôn có nghiệm thuộc khoảng [ 0;1] .
12. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình
[ x − a] [ x − b] + [ x − b] [ x − c] + [ x − c] [ x − a] = 0 có ít nhất một nghiệm.
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = [ x − a] [ x − b] + [ x − b] [ x − c] + [ x − c] [ x − a] thì f [ x] liên tục trên R.
Không giảm tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c
-Nếu a = b hoặc b = c thì f [ b] = [ b − a] [ b − c] = 0. suy ra phương trình có
nghiệm x = b
-Nếu a < b < c thì f [ b] = [ b − a] [ b − c] < 0 và f [ a] = [ a − b] [ a − c] > 0 do đó tồn
tại x0 thuộc khoảng [ a;b] để f [ x0 ] = 0.
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
8. Chứng minh phương trình 2x3 − 6x + 3 = 0 có ba nghiệm trên khoảng
[ −2;2] .
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = 2x − 6x + 3 thì f [ x] liên tục trên R.
3
f [ −2] = −16 + 12 + 3 = −1 < 0;f [ −1] = −2 + 6 + 3 > 0
f [ 1] = 2 − 6 + 3 = −1 < 0;f [ 2] = 16 − 12 + 3 = 7 > 0
Do đó f [ −2] .f [ −1] < 0;f [ −1] .f [ 1] < 0;f [ 1] .f [ 2] < 0. từ tính chất của hàm số liên
tục , suy ra f [ x] có nghiệm thuộc khoảng [ −2; −1] ,[ −1;1] ,[ 1;2] suy ra
phương trình có ba nghiệm trên khoảng [ −2;2] .
10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn
có nghiệm.
LỜI GIẢI
3
2
Đặt f [ x] = x + ax + bx + c thì f [ x] liên tục trên R.
f [ x] = +∞ ⇒ ∃x1 > 0 để f [ x1 ] > 0.
Ta có: xlim
→+∞
lim f [ x] = −∞ ⇒ ∃x2 > 0 để f [ x2 ] < 0.
x→−∞
Như vậy có x1 ,x2 để f [ x1 ] .f [ x2 ] < 0 suy ra phương trình có nghiệm
x ∈ [ x1;x2 ] vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
11. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx − 1 = 0
có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = x4 + ax3 + bx2 + cx − 1 thì f [ x] liên tục trên R.
Ta có: f [ 0] = −1;
lim f [ x] = +∞ ⇒ ∃x1 > 0 để f [ x1 ] > 0.
x→+∞
lim f [ x] = +∞ ⇒ ∃x2 < 0 để f [ x2 ] > 0.
x→−∞
Do đó f [ 0] .f [ x2 ] < 0 suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng [ x2 ;0]
f [ 0] .f [ x1 ] < 0 suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng [ 0;x1 ] mà các
khoảng [ x2 ;0] và [ 0;x1 ] không giao nhau, do đó phương trình có ít nhất
hai nghiệm phân biệt.
12. Chứng minh rằng phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − 3 = 0 có nghiệm x0
mà
2+ 2+ 2
< x0 3,4 > 1,84.
3
Nên f 2 + 2 ÷ < 1,85 − 3.1,84 − 1 < 6,35 − 5,52 − 1 < 0
Và
2 + 3 < 3,74 < 1,94; 2 + 3 > 3,73 > 1,93.
2
Do đó f 2 + 3 ÷ > 1,93 − 3.1,94 − 1 > 7,18 − 5,82 − 1 > 0
Suy ra f 2 + 2 ÷.f 2 + 3 ÷ < 0 vậy phương trình [ 3] có nghiệm
t ∈ 2 + 2; 2 + 3 ÷ từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: [sử dụng lượng giác]
1+ cos2α
2 + 2cos2α
Từ công thức cos2 α =
⇒ cosα =
.
2
2
Do đó
α
cos =
2
π
với 0 < α < .
2
2 + 2cos
2 + 2cosα
α
;cos =
2
4
2
α
α
2 hay cos =
4
2 + 2 + 2cosα
2
Từ công thức này suy ra: cos π = 2 + 2 + 2 ;cos π = 2 + 2 + 3
16
2
24
2
Nghiệm x0 của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng : x0 = cosβ
π
π
5 36 ⇔ x0 − 1 > 5 36 ⇔ x0 > 1+ 5 36 .
Chứng minh khi m ∈ [ 2;3] thì phương trình 2x3 − 9x2 + 12x − 2 − m = 0 có ba
nghiệm dương phân biệt.
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = 2x3 − 9x2 + 12x − 2 − m
m − 2 > 0
Vì m ∈ [ 2;3] ⇔ 2 < m < 3 ⇒
.
m − 3 < 0
Ta có f [ 0] = −2 − m < 2 − m < 0 , f [ 1] = 3 − m > 0 , f [ 2] = 2 − m < 0 , f [ 3] = 7 − m > 0 .
f [ 0] .f [ 1] < 0
Từ đó có f [ 1] .f [ 2] < 0 [1]. Vì hàm số liên tục và xác định trên R nên hàm
f [ 2] .f [ 3] < 0
số liên tục trên các đoạn 0;1 , 1;2 , 2;3 [2]. Từ [1] và [2] suy ra
phương trình f [ x] = 0 có ba nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc các
khoảng [ 0;1] , [ 1;2] , [ 2;3] .
Cho α và β thỏa 0 < α < β . Chứng minh rằng phương trình sau có
nghiệm : sin10 x − x =
α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β2
.
α +β
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = sin10 x − x −
α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β2
. Có hàm số f[x] liên tục
α +β
trên đoạn α;β [1].
Ta có f [ α ] = sin10 α − α −
=
α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β 2
α +β
[
10
10
α sin10 α − α 2 + β sin10 α − αβ − α sin10 α − β sin10 β + α 2 + β 2 β sin α − α − sin β + β
=
α +β
α +β
]
.
f [ β ] = sin10 β − β −
α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β2
α +β
[
α sin10 α − α − sin10 β + β
α sin10 β − αβ + β sin10 β − β2 − α sin10 α − β sin10 β + α 2 + β 2
=
=−
α +β
α +β
.
⇒ f [ α ] .f [ β ] = −
[
αβ sin10 α − α − sin10 β + β
[ α + β]
2
]
2
< 0,∀α ,β > 0 [2].
Từ [1] và [2] suy ra phương trình f [ x] = 0 có nghiệm x0 ∈ α;β .
Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn có nghiệm thực :
[m
2
]
− 3m + 5 x3 + 2x − 2 = 0
LỜI GIẢI
[
]
2
3
Đặt f [ x] = m − 3m + 5 x + 2x − 2 .
2
3 11
Ta có f [ 0] = −2 < 0 và f [ 1] = m2 − 3m + 5 = m − ÷ +
> 0,∀m nên
2
4
f [ 0] .f [ 1] < 0 [1]. Vì hàm số f[x] xác định và liên tục trên R nên f[x] liên tục
trên đoạn 0;1 [1]. Từ [1] và [2] suy ra phương trình f [ x] = 0 luôn có
nghiệm thuộc khoảng [ 0;1] .
]
[
]
2
3
2 2
2
Chứng minh rằng phương trình m + 1 x − 2m x − 4x + m + 1 = 0 có ba
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
[
]
2
3
2 2
2
Đặt f [ x] = m + 1 x − 2m x − 4x + m + 1 . Ta có :
[
]
f [ −3] = −27m2 − 27 − 18m2 + 12 + m2 + 1 = −44m2 − 14 = − 44m2 + 14 < 0,∀m ∈ ¡ .
f [ 0] = m2 + 1 > 0 .
f [ 1] = m2 + 1− 2m2 − 4 + m2 + 1 = −2 < 0 .
[
]
f [ 2] = 8 m2 + 1 − 8m2 − 8 + m2 + 1 = m2 + 1 > 0,∀ m ∈ ¡ .
f [ −3] .f [ 0] < 0
Từ đó ta có f [ 0] .f [ 1] < 0 [1]. Hàm số f[x] xác định và liên tục trên R do
f [ 1] .f [ 2] < 0
đó f[x] liên tục trên các đoạn −3;0 , 0;1 , 1,2 [2]. Từ [1] và [2] suy ra
phương trình f [ x] = 0 có ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộc các khoảng
[ −3;0] ,[ 0;1] ,[ 1;2] .
Chứng minh phương trình −2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011 = 0 có ít nhất 2
nghiệm với ∀ m,n,p ∈ R .
Xét phương trình:
−2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011 = 0 [1]
Xét hàm số: f[x] = −2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011
lim f[x] = lim [−2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011] = −∞ ⇒ ∃b > 0 sao cho f [ b] < 0 .
x→+∞
x→+∞
lim f[x] = lim [−2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011] = −∞ ⇒ ∃a > 0 sao cho f [ a] < 0
x→−∞
x→−∞
f [ 0] = 2011 > 0
Hàm số f[x] liên tục trên các đoạn a;0 và 0;b
f[a].f[0] < 0
f[0].f[b] < 0
⇒ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x1 ∈ [ a;0] và ít nhất 1 nghiệm
x2 [ 0;b] .
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Cho phương trình: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
a]. Với d < 0 chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân
biệt.
4
b]. Với d = 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a2 + b2 + c2 ≥
3
LỜI GIẢI
a]
Đặt f[x] = x4 + ax3 + bx2 + cx + d liên tục trên R.
Ta có: f [ 0] = d < 0
f[x] = +∞ , nên tồn tại 2 số α < 0 và β > 0 sao cho f[α ] > 0,
Mặt khác xlim
→±∞
f[0].f[α] < 0
f[β] > 0 . Do đó
. Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân
f[0].f[β] < 0
biệt thuộc hai khoảng [α ,0] và [0,β] .
b]. d = 1 Gọi x0 là nghiệm của phương trình [ x0 ≠ 0 ]
x04 + ax03 + bx02 + cx0 + 1 = 0 ⇔ b = −x02 +
−1
x02
− ax0 − c
1
x0
2
2 1
2 2 2 −1
1 2 1
Ta có: a + b + c x0 + 2 + 1÷ = a + c + −x0 + 2 − ax0 − c ÷ x0 + 2 + 1÷
÷
÷
x0 ÷
x0
x0
x0
[
2
2
2
]
2
2
1
−1
1
1
≥ ax0 + c − x02 + 2 − ax0 − c ÷ = x02 + 2 ÷
x0
x0 ÷
x0
x0 ÷
2
[
Suy ra: a2 + b2 + c2
]
2 1
x0 + 2 ÷
1
2
2
x0 ÷
= t với t = x0 + 2 ≥ 2
≥
x0
1
t+1
x02 + 2 + 1
x0
t2
4
≥ ⇔ 3t2 − 4t − 4 ≥ 0 ⇔ [t − 2][3t + 2] ≥ 0 [đúng do t ≥ 2 ].
t+1 3
4
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ .
3
2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = − [ứng với x0 = 1 ].
3
2
2
a = c = ,b = − [ứng với x0 = −1 ].
3
3
Mặt khác:
Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng
phương trình ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [0; 1].
LỜI GIẢI
Đặt f [ x] = ax2 + bx + c ⇒ f [ x] liên tục trên R.
2 4
2
1
c
c
• f [ 0] = c , f ÷ = a + b + c = [ 4a + 6b + 12c] − = − .
3
9
3
3
3 9
2
2
• Nếu c = 0 thì f ÷ = 0 ⇒ phương trình đã cho có nghiệm ∈ [0;1]
3
3
2
c2
• Nếu c ≠ 0 thì f[0].f ÷ = −
< 0 ⇒ phương trình đã cho có nghiệm
3
3
2
α ∈ 0; ÷ ⊂ [0;1] .
3
Kết luận phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
[0; 1].