Có bao nhiêu cách xếp 4 hành khách lên một đoàn tàu có 3 toa?

Một đoàn tàu có 3 toa chở khách đỗ ở sân ga. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Có 4 vị khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau, chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.

Theo dõi Vi phạm

Toán 11 Bài 5Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5Giải bài tập Toán 11 Bài 5

ANYMIND360

Trả lời (1)

• Vì mỗi vị khách có 3 lựa chọn lên một trong ba toa tàu. Suy ra số cách để 4 vị khách lên tàu là: 34 = 81

  adsense

  Câu hỏi:
  Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với nhau. Chọn ngẫu nhiên một toa. Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách bước lên tàu

  
  A. \( \frac{{20}}{{81}}\)

  
  B. \( \frac{{10}}{{27}}\)

  
  C. \( \frac{{50}}{{81}}\)

  
  D. \( \frac{{20}}{{243}}\)

  Lời Giải:
  Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.

  Gọi \(\Omega \) là tập tất cả các dãy số \(\{ {x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5}\} \) trong đó \(x_i\) là số toa mà hành khách thứ i lên ⇒ \(n\left( \Omega  \right) = 3.3.3.3.3 = {3^5} = 243\)

  + A1 là tập các cách lên tàu sao cho có 2 toa có 3 người và mỗi toa còn lại 1 người

  \( \Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = 3.C_5^3.C_2^1 = 60\)

  + A2 là tập các cách lên tàu sao cho có 2 toa có 2 người và 1 toa có 1 người

  adsense

  \( \Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = 3.C_5^2.C_2^2 = 90\)

  ⇒ A là biến cố “Mỗi toa đều có hành khách lên tàu”

  \(\begin{array}{l}
  n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) = 150\\
   \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{150}}{{243}} = \frac{{50}}{{81}}
  \end{array}\)

  ===============

  ====================
  Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Xác suất

  Mỗi hành khách có 4 cách chọn 1 toa để lên tàu nên số cách 4 hành khách chọn toa để lên tàu là \(4^4 = 256\) cách. Suy ra \(n\left( \Omega  \right) = 256\)

  Gọi A là biến cố: “một toa có 3 hành khách; một toa có 1 hành khách và hai toa không có hành khách”.

  Chọn 3 hành khách từ 4 hành khách và xếp 3 hành khách vừa chọn lên 1 trong 4 toa tàu có \(C_4^3.4 = 16\) cách 

  2/ Một đoàn tàu có 3 toa chở khách lần lượt là x,y,z,trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu,biết rằng mỗi toa ít nhất có 4 chỗ trống.
  a. Có bao nhiêu cách xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó
  b. Có bao nhiêu cách xếp cho4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách trên.

  Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

  Ta thấy rằng có 3 toa tàu và 4 vị khách nên theo [tex]Dirichle[/tex] thì \exists ít nhất 1 toa có từ 2 hành khách trở lên.
  -Với 4 khách lên toa x thì ta có 1 cách
  -Với 3 khách lên toa x thì ta có [tex]C^3_4[/tex] cách xếp 3 khách vào toa x, người khách còn lại được xếp vào toa y hoặc z
  -Với 2 khách lên toa x thì ta có [tex]C^2_4[/tex] cách xếp 2 khách vào toa x, 2 người còn lại có thể được xếp vào toa y hoặc z hoặc là vào cùng toa y, hoặc z [tex]\Rightarrow 2C^2_4+2C^2_4[/tex]
  Làm tương tự cho hai toa x và z
  \Rightarrow Có tổng cộng là [tex]3.(2C_4^2+2C_4^2+2C_4^3+1) = 99[/tex] cách.
  Ta giả thiết rằng ban đầu có 3 người khách lên toa x \Rightarrow có [tex]C_4^3[/tex] cách xếp, người khách còn lại có thể lên toa y hoặc z
  Tương tự cho hai toa y và z còn lại.
  \Rightarrow có [tex] 3.C^3_4[/tex] cách.

   

  rua_it said:

  Ta thấy rằng có 3 toa tàu và 4 vị khách nên theo [tex]Dirichle[/tex] thì \exists ít nhất 1 toa có từ 2 hành khách trở lên.
  -Với 4 khách lên toa x thì ta có 1 cách
  -Với 3 khách lên toa x thì ta có [tex]C^3_4[/tex] cách xếp 3 khách vào toa x, người khách còn lại được xếp vào toa y hoặc z
  -Với 2 khách lên toa x thì ta có [tex]C^2_4[/tex] cách xếp 2 khách vào toa x, 2 người còn lại có thể được xếp vào toa y hoặc z hoặc là vào cùng toa y, hoặc z [tex]\Rightarrow 2C^2_4+2C^2_4[/tex]
  Làm tương tự cho hai toa x và z
  \Rightarrow Có tổng cộng là [tex]2C_4^2+2C_4^2+2C_4^3+1 = 99[/tex] cách.
  Ta giả thiết rằng ban đầu có 3 người khách lên toa x \Rightarrow có [tex]C_4^3[/tex] cách xếp, người khách còn lại có thể lên toa y hoặc z
  Tương tự cho hai toa y và z còn lại.
  \Rightarrow có [tex] 3.C^3_4[/tex] cách.

  Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

  
  sai rồi:[tex]2C_4^2+2C_4^2+2C_4^3+1 = 99[/tex],rua_it xem lại chỗ này đi nha!

   

  a) Ta chia ra 5 trường hợp như sau:
  * Th1: “Sắp xếp sao cho có toa chứa cả 4 khách” . Chú ý là chỉ có 1 toa chứa 4 người nên công việc này phân tích ra là:
  - Sắp 4 người vào 1 toa: có 3 cách
  - Hai toa còn lại để trống, tức chỉ có 1 cách.
  Như vậy hành động này có 3.1 =3 cách thực hiện.
  
  * Th2: “ Sắp xếp sao cho có toa chứa 3 khách”. Chú ý là cũng chỉ có khả năng có tối đa 1 toa chứa 3 người. Công việc có 24 cách thực hiện (theo b)
  
  * Th3: “ Sắp xếp sao cho có toa chứa 2 khách”. Công việc này thực hiện được phải qua 2 hành động liên tiếp:
  - Hđ1: Chọn 2 khách (trong 4 khách) vào 1 phòng ( trong 3 phòng):
  + Chọn 2 khách: có 4C2 = 6 cách
  + Sau khi chọn 2 khách, đưa vào 1 phòng trong 3 phòng: có 3 cách
  Như vậy công việc này có: 6.3 = 18 cách thực hiện
  - Hđ 2: Sau khi đưa 2 khách vào 1 phòng, ta cần phải đưa 2 khách còn lại vào 2 hoặc 1 toa còn lại. Để thực hiện hành động này, ta có thể làm 1 trong 2 cách:
  + Cách 1: Đưa 2 người vào cùng 1 toa: có 2 cách
  + Cách 2: Đưa 1 người vào 1 toa: có 2 cách.
  Như vậy hành động này có: 2 +2 = 4 cách thực hiện
  Vậy trong Th3 sẽ có: 18.4 = 72 cách thực hiện.
  
  * Th4: “ Sắp xếp sao cho có toa chứa 1 khách”. Để thực hiện công việc này, cần phải thực hiện 2 hành động liên tiếp:
  - Hành động 1: Chọn 1 trong 4 khách bỏ vào 1 trong 3 toa: có 4C1*3=12 cách.
  - Hành động 2: Sau khi thực hiện hành động 1, Đưa 3 khách còn lại vào 2 phòng còn lại.
  Để thực hiện hành được hành động 2, có 1 trong 2 cách thực hiện sau:
  + C1: Bỏ 3 khách vào 1 toa, toa còn lại để trống --- > Đã trùng với Th2, nên không tính nữa.
  + C2: Bỏ 2 khách vào 1 toa, khách còn lại vào toa còn lại --- > Đã trùng với Th2 nên không tính nữa.
  Như vậy Th4 này đã xảy ra ở các Th2 và Th3 nên không tính vào nữa.
  * Th5: “ Sắp xếp sao cho có toa không chứa khách”. Để thực hiện công việc này cần phải thực hiện 2 hành động liên tiếp:
  - HĐ1: Để 1 trong 3 toa trống: có 3 cách
  - HĐ2: Sắp 4 người vào 2 toa còn lại. Có 1 trong 3 cách sau để hoàn thành công việc này:
  + Sắp 4 khách vào 1 toa, toa còn lại để trống -- > Đã trùng với Th1, nên không xét.
  + Sắp 3 khách vào 1 toa, toa còn lại 1 khách -- > Đã trùng với Th2, không xét nữa.
  + Sắp 2 khách vào 1 toa, toa còn lại cũng 2 khách -- > Đã trùng với Th3, không xét nữa.
  Như vậy, Th5 đã xảy ra ở các trường hợp đã xét nên không tính thêm.
  
  Tóm lại, tổng hợp các kết quả suy ra đáp số bài toán là: 3 + 24 + 72 = 99 cách.