Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x 2 xy y

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực \(x \in \left( {1;\,6} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {x – 1} \right){e^x} = y\left( {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right)\) ?

A. 17.

B. 18.

C. 16.

D. 15.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(4\left( {x – 1} \right){e^x} = y\left( {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right) \Leftrightarrow 4\left( {x – 1} \right){e^x} – y\left( {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right) = 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 4\left( {x – 1} \right){e^x} – y\left( {{e^x} + xy – 2{x^2} – 3} \right)\) với biến số \(x \in \left( {1;\,6} \right)\) và tham số \(y \in {\mathbb{N}^ * }\).

\(f’\left( x \right) = \left( {4x – y} \right)\left( {{e^x} + y} \right)\). \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{y}{4}\).

\(f\left( 1 \right) = y\left( {5 – e – y} \right)\), \(f\left( 6 \right) = – 6{y^2} + \left( {75 – {e^6}} \right)y + 20{e^6}\), \(f\left( {\frac{y}{4}} \right) = – 4{e^{\frac{y}{4}}} – \frac{{{y^3}}}{8} + 3y\).

∙) Trường hợp 1: \(\frac{y}{4} \notin \left( {1;\,6} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y \le 4\\y \ge 24\end{array} \right.\)

+) Với \(y \le 4\) ta có \(f’\left( x \right) > 0\,\forall \,x \in \left( {1;\,6} \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in \left( {f\left( 1 \right);\,f\left( 6 \right)} \right)\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) < 0\\f\left( 6 \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = 4\end{array} \right.\).

+) Với \(y \ge 24\) ta có \(f’\left( x \right) < 0\,\forall \,x \in \left( {1;\,6} \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in \left( {f\left( 6 \right);\,f\left( 1 \right)} \right)\).

Do \(f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình vô nghiệm khi \(y \ge 24\).

∙) Trường hợp 2: \(\frac{y}{4} \in \left( {1;\,6} \right) \Leftrightarrow y \in \left( {4;\,24} \right)\).

Ta có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x 2 xy y

Vì \(f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình có nghiệm khi \(f\left( 6 \right) > 0 \Leftrightarrow 6{y^2} – \left( {75 – e} \right)y – 20{e^6} < 0\) \( \Leftrightarrow y \in \left( {{y_1};\,{y_2}} \right)\), với \({y_1} = \frac{{75 – {e^6} – \sqrt {{e^{12}} + 330{e^6} + 5625} }}{{12}},{y_2} = \frac{{75 – {e^6} + \sqrt {{e^{12}} + 330{e^6} + 5625} }}{{12}}\) Suy ra \(y \in \left\{ {5;\,6;\,…;\,17,18} \right\}\). Kết hợp 2 trường hợp ta được \(y \in \left\{ {3;\,4;5;\,…;\,17,18} \right\}\). Chọn đáp án C.

Giải chi tiết:

Xét bất phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\,\left( 1 \right)\). ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + y > 0\end{array} \right.\)

Nếu x = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln y\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln y \le 0 \Leftrightarrow y = 1\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)

Nếu x = 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow y = 0\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)

Nếu x khác 0 và 1, ta có 2 trường hợp sau:

TH1: x + y = 1, bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\), luôn đúng với mọi x nguyên

TH2: x + y > 1, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} \ge \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Với mỗi giá trị x nguyên, ta coi x là tham số, xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}}\) với y > 1 – x

Ta có \(f'\left( y \right) = \dfrac{{\dfrac{{\ln \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + y}} - \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{x + y}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\ln \left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + y} \right)\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + y} \right){{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}}\)

Do hàm số \(g\left( t \right) = t\ln t\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(1 < x + y < {x^2} + y\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ {0;1} \right\}\)nên ta có f’(y) < 0 với mọi y thỏa mãn điều kiện.

Suy ra hàm f(y) nghịch biến trên \(\left( {1 - x; + \infty } \right)\)và \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 - x < y < {y_0}\) (*) với y0 là nghiệm của phương trình \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}} \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right)\) (3)

Đặt \({\log _4}\left( {{x^2} + {y_0}} \right) = {\log _3}\left( {x + {y_0}} \right) = u\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y_0} = {4^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = {4^u} - {3^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right.\)

Tổng kết cả hai trường hợp, ta thấy số các số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) là \(\left[ {{y_0}} \right] - \left( {1 - x} \right) + 1 = \left[ {{y_0}} \right] + x\)

Giá trị này sẽ không vượt quá 242 khi và chỉ khi \({y_0} + x < 243 \Leftrightarrow {3^u} < 243 \Leftrightarrow u < 5 \Leftrightarrow {4^u} - {3^u} < 781\)

(Lưu ý là các hàm số \({3^u}\) và \({4^u} - {3^u}\) đều đồng biến)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\({x^2} - x = {4^u} - {3^u} < 781 \Leftrightarrow {x^2} - x - 781 < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 27,45 \approx \dfrac{{1 - 25\sqrt 5 }}{2} < x < \dfrac{{1 + 25\sqrt 5 }}{2} \approx 28,45\\x e 0;x e 1\end{array} \right.\).

Kết hợp với các giá trị \(x = 0,\,\,x = 1\) ta có tất cả 56 giá trị của \(x\) thỏa mãn bài toán.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.


- Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\), biểu diễn \(P = x + y\) và \(S = xy\) theo \(t\).


- Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) (ẩn t).


- Tìm điều kiện để phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của \(t\).


- Từ đó chặn khoảng giá trị của \({x^2} + {y^2}\) và tìm các số nguyên x thỏa mãn.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.\).

Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) phải có nghiệm, khi đó ta có \(\Delta {'_{\left( * \right)}} \ge 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} - 2.\left( {{9^t} - {4^t}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left( C \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\).

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x 2 xy y

Tập hợp các cặp giá trị của \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (I) là miền bôi đậm.

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

21/10/2021 3,325

Chọn C Điều kiện: x>0 Với điều kiện trên: log2x+3−1.log2x−y<0⇔log2x+3−1<0log2x−y>0log2x+3−1>0log2x−y<0 ⇔log2x+3<1log2x>ylog2x+3>1log2x2yx+3>2x<2y⇔x<−1x>2yx>−1x<2y⇔2y

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60°. Tính theo  thể tích  của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 21/10/2021 2,146

Với a là số thực dương tùy ý, lneaπ bằng

Xem đáp án » 21/10/2021 932

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính độ dài đường cao SH

Xem đáp án » 21/10/2021 839

Tập nghiệm của bất phương trình 234x≤23x−2?

Xem đáp án » 21/10/2021 510

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3;3) và mặt cầu S:x−12+x−22+x−32=12. Xét khối trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) và có trục đi qua điểm A. Khi khối trụ (T) có thể tích lớn nhất thì hai đường tròn đáy của (T) nằm trên hai mặt phẳng có phương trình dạng x+ay+bz+c=0 và x+ay+bz+d=0. Giá trị a+b+c+d bằng 

Xem đáp án » 21/10/2021 408

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A(-3;4;2), B(-5;6;2), C(-10;17,-7). Viết phương trình mặt cầu tâm C, bán kính AB

Xem đáp án » 21/10/2021 352

Chọn ngẫu nhiên một số trong số 21 số nguyên không âm đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bằng

Xem đáp án » 21/10/2021 325

Tích phân ∫0ln2exdx bằng

Xem đáp án » 21/10/2021 293

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x 2 xy y

Biết f(0)=0. Hỏi hàm số gx=13fx3−2x có bao nhiêu điểm cực trị

Xem đáp án » 21/10/2021 291

Cho hàm số y=fx=x2−m                                x≥02cosx−3           x<0 liên tục trên ℝ. Giá trị I=∫0π2f2cosx−1sinxdx

Xem đáp án » 21/10/2021 275

Đồ thị của hàm số y=x2−2x2+2 cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

Xem đáp án » 21/10/2021 247

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Biết hàm số y=f(x) đạt cực trị tại các điểm x1,x2,x3 thỏa mãn x3=x1+2, fx1+fx3+23fx2=0 và (C) nhận đường thẳng d:x=x2 làm trục đối xứng. Gọi S1,S2,S3,S4 là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số S1+S2S3+S4 gần kết quả nào nhất

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x 2 xy y

Xem đáp án » 21/10/2021 246

Ông Bảo làm mái vòm ở phía trước ngôi nhà của mình bằng vật liệu tôn. Mái vòm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên dưới. Biết giá tiền của 1 m2 tôn là 300.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bảo mua tôn là bao nhiêu ?

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho ln 4x 2 xy y

Xem đáp án » 21/10/2021 234

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x−12=y1=z+2−1 và d2:x−11=y+23=z−2−2. Gọi ∆ là đường thẳng song song với P:x+y+z−7=0 và cắt d1;d2 lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng ∆ là:

Xem đáp án » 21/10/2021 191

Có bao nhiêu số phức z thỏa z−2−i=z−3i và z−2−3i≤2?

Xem đáp án » 21/10/2021 173