Là thành viên, bạn cũng sẽ có quyền truy cập không giới hạn vào hơn 84.000 bài học về toán, tiếng Anh, khoa học, lịch sử, v.v. Ngoài ra, nhận các bài kiểm tra thực hành, câu đố và huấn luyện được cá nhân hóa để giúp bạn thành công
Nhận quyền truy cập không giới hạn vào hơn 84.000 bài học
Thử ngay bây giờChỉ mất vài phút để thiết lập và bạn có thể hủy bất cứ lúc nào
Đã đăng ký?Tài nguyên do giáo viên tạo ra cho giáo viên
Hơn 30.000 bài học video & tài nguyên giảng dạy‐tất cả ở một nơi.
bài học video
Câu đố và Bảng tính
Tích hợp lớp học
kế hoạch bài học
Tôi chắc chắn sẽ giới thiệu Study. com đến các đồng nghiệp của tôi. Nó giống như một giáo viên vung cây đũa thần và làm việc cho tôi. Tôi cảm thấy như đó là một cứu cánh
Vào thế kỷ thứ mười tám, một ngày nọ, một thầy giáo người Đức giao cho lớp của mình bài tập tẻ nhạt là tính tổng 100 số nguyên đầu tiên. Mục đích của giáo viên là giữ cho bọn trẻ im lặng trong nửa giờ, nhưng một học sinh nhỏ gần như ngay lập tức đưa ra câu trả lời. 1 + 2 + 3 +. + 98 + 99 + 100 = 5,050. Cậu học trò đó chính là Gauss, người được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại.
Làm thế nào mà Gauss tính toán được kết quả nhanh như vậy?
Hãy nhìn vào dãy số
1 + 2 + 3 + 4. + 5 +. + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Bây giờ hãy thử và ghép các số như sau
Chúng tôi thấy rằng.
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.....
Và có bao nhiêu cặp như vậy?
Chà, vì có 100 số và chúng ta cộng 2 số cùng một lúc, nên chúng ta sẽ có 100/2 cặp.
Vậy tổng của tất cả các cặp chỉ đơn giản là.
101 X 100/2 = 101 x 50 = 5050
Chúng ta có thể khái quát hóa điều này như
Tổng các số từ 1 đến n = n[n+1]/2
Điều này thật dễ dàng vì n chẵn nên bạn có thể ghép mọi số. Chà, nếu n là số lẻ thì sao?
Hãy lấy một trường hợp đơn giản, giả sử n là 9.
Bây giờ, tổng của mỗi cặp là 9 + 1 = 10.
Có bao nhiêu cặp? . Vậy là 45.
So, sum of all the pairs is 10 X 4 = 40
and you need to add 5 to that since that could not be paired. So it is 45.
Chà, nếu chúng ta khái quát hóa điều này, chúng ta sẽ nhận được
[n+1] [n -1] / 2+ [n + 1]/2 = [n + 1]/2 X [n -1 +1] = n[n + 1]/2
Carl Friedrich Gauss [1777 - 1855] là một trong những nhà toán học vĩ đại và có ảnh hưởng nhất mọi thời đại. Ông đã có nhiều đóng góp cho các lĩnh vực toán học và khoa học và được mệnh danh là Princeps Mathematicorum [tiếng Latinh có nghĩa là 'nhà toán học hàng đầu']. Tuy nhiên, một trong những câu chuyện thú vị nhất về Gauss bắt nguồn từ thời thơ ấu của ông.
Carl Friedrich Gauss [1777 - 1855]
Cộng các số từ 1-100. Cách Gauss giải quyết vấn đề
Chuyện kể rằng giáo viên tiểu học của Gauss, là một người lười biếng, đã quyết định giữ cho lớp học bận rộn bằng cách yêu cầu họ tính tổng tất cả các số từ 1 - 100. Với một trăm con số để cộng [không có máy tính vào thế kỷ 18], giáo viên nghĩ rằng điều này sẽ khiến lớp học bận rộn trong một thời gian khá dài. Tuy nhiên, ông đã không tính đến khả năng toán học của Gauss trẻ tuổi, người chỉ vài giây sau đã quay lại với câu trả lời đúng là 5050
Gauss đã nhận ra rằng ông có thể tính tổng dễ dàng hơn nhiều bằng cách cộng các số lại với nhau theo từng cặp. Anh ấy cộng số đầu tiên và số cuối cùng, số thứ hai và số thứ hai với số cuối cùng, v.v., nhận thấy rằng các cặp này 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, v.v. tất cả đều đưa ra cùng một câu trả lời là 101. Đi hết 50 + 51 được 50 cặp 101 và đáp án là 50 × 101 = 5050
Mở rộng phương pháp của Gauss sang các khoản tiền khác
Câu chuyện này có thực sự đúng hay không vẫn chưa được biết, nhưng dù bằng cách nào thì nó cũng mang đến một cái nhìn sâu sắc tuyệt vời về tâm trí của một nhà toán học phi thường và giới thiệu về một phương pháp nhanh hơn để cộng các dãy số [dãy số được hình thành bằng cách tăng hoặc giảm cùng
Trước hết, hãy xem điều gì xảy ra khi tính tổng các chuỗi như của Gauss, nhưng với bất kỳ số nào [không nhất thiết phải là 100]. Đối với điều này, chúng ta có thể mở rộng phương pháp của Gauss khá đơn giản
Giả sử chúng ta muốn cộng tất cả các số đến và bao gồm cả n, trong đó n đại diện cho bất kỳ số nguyên dương nào. Chúng ta sẽ cộng các số theo cặp, đầu tiên đến cuối cùng, thứ hai đến thứ hai đến cuối cùng, v.v. như chúng ta đã làm ở trên
Hãy sử dụng một sơ đồ để giúp chúng ta hình dung điều này
Tính tổng các số từ 1 đến n
Tính tổng các số từ 1 đến n
Bằng cách viết số 1 - n và sau đó lặp lại chúng ngược lại bên dưới, chúng ta có thể thấy rằng tất cả các cặp của chúng ta có tổng bằng n + 1. Hiện tại có n lô n + 1 trong hình của chúng ta, nhưng chúng ta đã nhận được những số này bằng cách sử dụng các số 1 - n hai lần [một lần tiến, một lần đảo ngược], do đó, để có câu trả lời, chúng ta cần giảm một nửa tổng số này
Điều này cho chúng ta câu trả lời cuối cùng là 1/2 × n[n + 1]
Sử dụng công thức của chúng tôi
Chúng ta có thể kiểm tra công thức này với một số trường hợp thực tế
Trong ví dụ của Gauss, chúng ta có 1 - 100, vì vậy n = 100 và tổng = 1/2 × 100 × [100 + 1] = 5050
Các số 1 - 200 có tổng bằng 1/2 × 200 × [200 + 1] = 20 100 trong khi các số 1 - 750 có tổng bằng 1/2 × 750 × [750 + 1] = 218 625
Mở rộng công thức của chúng tôi
Tuy nhiên, chúng ta không phải dừng lại ở đó. Một dãy số học là bất kỳ dãy nào trong đó các số tăng hoặc giảm cùng một lượng mỗi lần e. g. 2, 4, 6, 8, 10,. và 11, 16, 21, 26, 31,. là các dãy số tăng lần lượt là 2 và 5
Giả sử chúng ta muốn tính tổng dãy số chẵn lên đến 60 [2, 4, 6, 8,. , 58, 60]. Đây là một cấp số cộng có hiệu giữa các số hạng là 2
Chúng ta có thể sử dụng một sơ đồ đơn giản như trước
Tính tổng các số chẵn đến 60
Tính tổng các số chẵn đến 60
Mỗi cặp cộng lại thành 62, nhưng sẽ phức tạp hơn một chút để xem lần này chúng ta có bao nhiêu cặp. Nếu chúng ta giảm một nửa số hạng 2, 4,. , 60 ta sẽ được dãy 1, 2,. , 30 nên phải có 30 số hạng
Do đó, chúng tôi có 30 lô của 62 và một lần nữa, vì chúng tôi đã liệt kê dãy số của mình hai lần, chúng tôi cần chia đôi số này để 1/2 × 30 × 62 = 930
Tạo Công Thức Tổng Quát Để Tính Tổng Các Chuỗi Số Học Khi Biết Số Hạng Đầu Và Số Cuối
Từ ví dụ của chúng ta, chúng ta có thể thấy khá nhanh rằng các cặp số luôn cộng lại bằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng trong dãy. Sau đó, chúng tôi nhân số này với số lượng thuật ngữ có và chia cho hai để chống lại thực tế là chúng tôi đã liệt kê mỗi thuật ngữ hai lần trong phép tính của mình
Do đó, đối với bất kỳ dãy số học nào có n số hạng, trong đó số hạng đầu tiên là a và số hạng cuối cùng là l, chúng ta có thể nói rằng tổng của n số hạng đầu tiên [ký hiệu là Sn], được cho bởi công thức
Sn = 1/2 × n × [a + l]
Điều gì xảy ra nếu thuật ngữ cuối cùng không xác định?
Chúng ta có thể mở rộng công thức thêm một chút nữa cho các dãy số mà chúng ta biết có n số hạng nhưng không biết số hạng thứ n [số hạng cuối cùng trong tổng] là gì
E. g. tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy 11, 16, 21, 26,
Đối với vấn đề này, n = 20, a = 11 và d [sự khác biệt giữa mỗi số hạng] = 5
Chúng ta có thể sử dụng những dữ kiện này để tìm số hạng cuối cùng l
Có 20 thuật ngữ trong chuỗi của chúng tôi. Số hạng thứ hai là 11 cộng một 5 = 16. Số hạng thứ ba là 11 cộng hai số năm = 21. Mỗi số hạng là 11 cộng thêm một số 5 nhỏ hơn số hạng i của nó. e. số hạng thứ bảy sẽ là 11 cộng với sáu số 5, v.v. Theo quy luật này, số hạng thứ 20 phải là 11 cộng với 19 5s = 106
Do đó, sử dụng công thức trước đó, chúng ta có tổng của 20 số hạng đầu tiên = 1/2 × 20 × [11 + 106] = 1170
Tổng quát hóa công thức
Sử dụng phương pháp trên, chúng ta có thể thấy rằng đối với một dãy có số hạng đầu tiên là a và hiệu d, số hạng thứ n luôn là a + [n − 1] × d, i. e. thuật ngữ đầu tiên cộng với một ít hơn rất nhiều của d so với thuật ngữ số
Lấy công thức trước đây của chúng ta cho tổng n số hạng của Sn = 1/2 × n × [a + l] và thay vào l = a + [n − 1] × d, chúng ta có được
Sn = 1/2 × n × [a + a + [n − 1] × d]
mà có thể được đơn giản hóa để
Sn = 1/2 × n × [2a + [n − 1] × d]
Sử dụng công thức này trong ví dụ trước của chúng ta về tính tổng hai mươi số hạng đầu tiên của dãy 11, 16, 21, 26,. cho chúng tôi
Sn = 1/2 × 20 × [2 × 11 + [20 − 1] × 5] = 1170 như cũ
Tóm tắt lại
Trong bài viết này, chúng tôi đã khám phá ra ba công thức có thể được sử dụng để tính tổng các chuỗi số học
Cho các dãy đơn giản có dạng 1, 2, 3,. , N,
Sn = 1/2 × n × [n + 1]
Đối với bất kỳ dãy số học nào có n số hạng, số hạng đầu tiên a, hiệu giữa số hạng d và số hạng cuối cùng l, chúng ta có thể sử dụng các công thức
Sn = 1/2 × n × [a + l]
hoặc là
Sn = 1/2 × n × [2a + [n − 1] × d]
Nội dung này là chính xác và đúng với kiến thức tốt nhất của tác giả và không nhằm mục đích thay thế cho lời khuyên chính thức và cá nhân từ một chuyên gia có trình độ