Công thức tính góc của đa giác đều
|
Cho đa giác $8$ cạnh, số đường chéo của đa giác đó là: Tổng số đo các góc của đa giác đều 7 cạnh là: Mỗi góc trong của đa giác đều $n$ cạnh là: Tổng số đường chéo của ngũ giác lồi là Một đa giác có số đường chéo là $54$ thì có số cạnh là: Cho $ABCDEF$ là hình lục giác đều. Hãy chọn câu sai: Số đo mỗi góc trong và ngoài của ngũ giác đều là: Đa giác nào dưới đây có số đường chéo bằng số cạnh?
CÔNG THỨC các bài tập về đa GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (195.03 KB, 30 trang ) CÔNG THỨC CÁC BÀI TẬP VỀ ĐA GIÁC điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng A iAi+1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc Ai-1AiAi+1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai. 1 2. Đa giác đơn ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểm chung. 3. Đa giác lồi ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất lì một cạnh nào của đa giác đó. 4. Đường chéo của đa giác ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau củamột đa giác gọi là đường chéo của đa giác đó. ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn n. 5. Đa giác đều. ĐN: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau. II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi. a. Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800. b. Tính tổng các góc ngoài của hình n_giác. Giải: a. Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó. Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2 tam giác. Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác và tổng (n - 2).1800. b. Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng 1800. Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằng n.1800. 2 Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).1800. Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.1800 – (n - 2).1800 = 3600 = 4v Tổng số đo các góc ngoài của 1 hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh của đa giác. VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả µ A đường chéo. Giải: Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác). Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo. Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo. Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả n(n − 3) 2 đường chéo. Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn thẳng nối đỉnh đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác. + Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần) => số đoạn thẳng thực sự là n(n − 1) . 2 + Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _ giác. Vậy hình n_ giác có n(n − 1) 2 -n= n(n − 3) 2 đường chéo. III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 1. Tính số cạnh của một đa giác. 2. Tính số đo góc trong một đa giác. 3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác. 3 4. Diện tích đa giác. 5. Các khoảng cách trong đa giác. 6. Một số bài toán cơ bản. IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN 1. Tính số cạnh của một đa giác. Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 5700. Tính số cạnh của đa giác đó và µ A Giải: Ta có (n - 2). 1800 – Vì 00 < µ < A 1800 ⇒ ⇔ µ A = 5700 µ = ⇔ A (n - 2).1800 – 5700. 0 < (n - 2). 1800 – 5700 < 1800. 1 0 < n - 56 < 1 ⇔ 1 2 1 6 56 < n < 63 Vì n ∈ N nên n = 6. Đa giác đó có 6 cạnh và µ A = (6 - 2). 1800 – 5700 = 1500. Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có: a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kẻ một góc ngoài). b. Số đường chéo gấp đôi số cạnh. c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700. Giải: a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). + Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).1800. + Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600. Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600 ⇔ n=4 Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4. b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta có: 4 n(n-3) 2 = 2n ⇔ n2 – 3n = 4n ⇔ n = 7. Vậy đa giác đó có 7 cạnh. c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên: (n - 2).1800 µ ⇔ A Vì 00 < µ A µ A = 25700. = (n - 2).1800 – 25700. < 1800 ⇒ 0 < (n − 2)180° − 2570° < 180 ⇔ 14, 2 < n < 15, 2 Vì n ∈ N ⇒ n = 15. Vậy đa giác đó có 15 cạnh. Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là 2 . 3 Tính số cạnh của mỗi đa giác đó. Giải: Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là n,m (m,n ∈ Z, m,n > 2). Theo bài ra ta có: (n-2).1800 (m-2).1800 : n m 2 = 3. Vì m ∈ Z, m > 2 nên m + 4 ∈ Z và m + 4 > 6 ⇒ n–6<0 ⇔ n < 6. Khi đó m,n có 3 trường hợp sau. n - 6 = -2 n = 4 TH 1: m + 4 = 12 ⇔ m = 8 TH2: n - 6 = - 3 n = 3 ⇔ m + 4 = 8 m = 4 5 n - 6 = - 3 n = 3 TH3: m + 4 = 8 ⇔ m = 4 Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4. Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2 mảnh. Một trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao nhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh. Giải: + Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh. Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh. + Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1 ⇒ Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1. + Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 99 ⇒ Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh. + Ta có 4n + 4 ≥ 100.20 + 3 (n - 99) ⇔ n ≥ 1699. Vậy số lần cắt ít nhất là 1699. + Trước hết cắt 99 lần bởi đường thẳng song song với 1 cạnh của hình vuông để được 100 hình chữ nhật. Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa giác 20 cạnh. Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt). Bài 5: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng: a. Khi n ≥ 1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn = b. Khi n ≥3 thì trong Pn phần nói trên có Qn = Chứng minh: 6 n 2 - 3n + 2 2 n2 + n + 2 2 đa giác. phần. a. n = 1 ta có: P1 = thành 2 phần ⇒ 1+ 1 + 2 2 = 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳng mệnh đề nói đúng với n = 1. Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng. Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện bài toán. Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1 đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn phần với Pn = (n - 1) 2 + (n - 1) + 2 n 2 - n + 2 = . 2 2 Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần (trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là ∆1 , ∆ 2 ,…. Δ n . Mỗi Δi đều nằm trong một và chỉ một D j nào đó và chia Dj thành 2 phần bởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là: Pn = Pn-1 + n= n2 - n + 2 n2 + n + 2 = 2 2 Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng b. Khi n = 3 ta có Q3 = 32 - 3.3 + 2 2 ⇒ đpcm. = 1 tức là trong số phần mà là 3 đường thẳng (đôi một cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một phần là tam giác ⇒ Mệnh đề b đúng khi n = 3. Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n ≥ 4) và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng. Giả sử ta có n đường thẳng d 1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d 1, d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có : (n - 1) 2 - 3(n - 1) + 2 n 2 - 5n + 6 Qn - 1 = = 2 2 phần là đa giác mà ta kí hiệu các phần đó n 2 - 5n + 6 là : D1 ,D2 ,...Dk (với k = ). 2 7 Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần trong đó có n – 2 đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là Δ1,Δ 2 ,...Δ n-2 . Mỗi một đoạn ∆1 nằm trong một đa giác D j nào đó và chia D j thành đa giác, bởi vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là: n 2 -5n+6 n 2 - 3n + 2 Q n = Q n-1 + n-2 = +n-2= 2 2 ⇒ Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng ⇒ đpcm. Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều. Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiện giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó. Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa giác đều có n cạnh. b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không? Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều. Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 22250. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau. Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu. 2. Tính số đo góc trong đa giác. Bài tập mẫu: 8 Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều. Giải: + Số đo góc của hình 5 cạnh đều là: (5 - 2).1800 = 1080 . 5 + Số đo góc của hình 9 cạnh đều là: (9 - 2).1800 = 1400 9 + Số đo góc của hình 15 cạnh đều là: . (15 - 2).1800 = 1560 . 15 Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE. a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK 1 CD. 4 b. Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1 góc không vượt quá 360. Giải: a. Gọi F là trung điểm của EC. QM =// 1 2 (EBt ; FN =// 1 EB, 2 ⇒ QM = FN ⇒ QMNF là hình bình hành. Mà IQ = IN ⇒ ⇒ I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành. I,M,F thẳng hàng và IM = IF. Ta có: IM = IF ⇒ IK KM = KP = 1 PF. 2 (1) 9 Mà PE = PD ⇒ EF = FC PF = ⇒ 1 CD . 4 Từ (1), (2) IK = 1 CD 2 (2) b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường thẳng song song với các đường chéo của ngũ giác, chúng tạo thành 10 góc không có điểm chung, có tổng bằng 3600. Tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 360. Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E thuộc miền trong của hình vuông sao cho rằng ΔCDE · EAB = · EBA = 150 . Chứng minh A B 15o đều. E Giải: F + Dựng Δ đều EFB sao cho F và C ở cùng phía đối với EB. · FBC ⇒ · · = 900 – ( EBA + EPF ) = 150. ⇒ AB = BC ⇒ Δ ABE ∆ · · ABE = CBF = 150 · FCB + C D = ∆ CBF BE = PF. ⇒ AE = CF mà AE = EB = FB · ⇒ FCB = 150 ⇒ Δ CBF · ⇒ FCE cân tại C = 150, ⇒ · FCB ⇒ Δ CBF = 1500 cân tại F. · ⇒ EFC CE = CB = CD. Vậy = 1500 · ⇒ CEF = 150 ΔCDE đều. Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. Giải: Giả sử đa giác lồi có K ≥ 4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy nếu đa giác có K ≥ 4 góc nhọn thì sẽ có K ≥ 4 góc ngoài là góc tù 10 ⇒ tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600). Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và Hãy tính · . ABC Giải: Ta có · DBE µ 1 +B µ2 ⇒ B 1 · ABC . 2 = Vì EA = EB µ1 ⇒ B = 900 - Vì CB = CD = 1 · ABC 2 (1) ⇒ ΔEAB cân µ2 ⇒ E = µ 1. B ·EAB 2 · = 900 - BCD µ2 ⇒ B 2 Thay vào (1) ta được: 900 · ABC ·EAB 2 · + 900 - BCD = 2 · ⇒ EAB + · ⇒ CDE · + DEA = 5400 – 3600 = 1800. µ1 ⇒ D + Eµ 1 = 900 - điểm mỗi đường AC = DE Vậy · ABC 1 · ABC 2 · + BCD = 3600. · CDE 2 + 900 - · DEA 2 = 900 ⇒ Mặt khác ΔEAD cân tại E, ΔCDE cân tại D ⇒ · · . ABC = 2DBE ⇒ ⇒ AD ⇒ ⊥ CE. AD và CE cắt nhau tại trung AEDC là hình bình hành. AB = BC = CA ⇒ ΔABC đều · ⇒ ABC = 600. = 600. Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số nguyên và µ A µ = C µ - D µ = B µ - C µ = D µ - E µ = E µ - F µ . Giá trị lớn nhất của A µ có thể bằng - B bao nhiêu? Giải: + Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).1800 = 7200. 11 µ = D µ - B µ = B µ - C µ - E µ = E µ - F µ + Đặt α = A µ + D µ + B µ + C µ + E µ + F µ = 7200. Ta có A µ ⇔ A µ - α ) + (A µ - 2α ) + (A µ - 3α ) + (A µ - 4α ) + (A µ - 5 α ) = 7200. + (A µ ⇔ 6A - 15 α = 7200 ⇒ µ = 5 α + 2400. 2A µ là số tự nhiên và chia hết cho 5 nên A µ Do A ≤ 1750. µ = 1750 thì α = 220. . Nếu A µ là 1750. Vậy giá trị lớn nhất của A Bài tập đề nghị. Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD và DE. Gọi I là giao điểm của AM và BN. a. Tính · AIB . · b. OID (Với O là tâm của lục giác đều). Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau, ngoài ra µ µ µ. B+D+F µ µ µ A+C+E = Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này là song song. µ = 1000. M là một điểm trong tam giác Bài 3: Cho ∆ cân ABC (AB = AC) và A · · · sao cho MBC = 100 và MCB = 200. Tính AMB . Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn 1200. Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều là góc tù. Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và AE vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất thiếy là lục giác đều hay không? Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh rằng hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau. · Bài 7: Cho ∆ ABC với AB = BC và ABC = 800. Lấy trong tam giác đó điểm I · · · sao cho IAC = 100 và ICA = 300. Tính AIB . Bài 8: Cho Δ ABC,kẻ các đường phân giác trong BD và CE. Hãy xác định các góc ¶A , µB , µC biết · BDE = 240 và · CED = 180. 12 Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB và BC tương ứng sao cho BP = BQ. Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B xuống cạnh PC. Chứng minh rằng · DHQ = 1v. Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BC PAD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a. Chứng minh MP là tia phân giác của góc · QMN . b. Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với 2 đường chéo để · MNQ = 450. Bài 11: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh bằng đơn vị. Gọi P và Q là 2 điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD. Chứng minh: Chu vi chỉ khi ∆APQ = 2 khi và · QCP = 45° Bài 12: Khoảng cách giữa 2 chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh của hình thoi xuống hai cạnh của nó bằng ½ độ dài đường chéo của hình thoi. Tính các góc của hình thoi. Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD, biết · BMK . µ = 200° , B µ +D µ = 180° , C µ +D µ = 120° µ +C B a. Tính các góc của tứ giác b. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. CM: µ µ ·AIB = C + D 2 Bài 15: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc là góc tù. Bài 16: Cho tứ giác ABCD có của · · · BAC = 25°, CAD = 75°, ·ABD = 40°, CBD = 85° . · BCD 3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác. Bài tập mẫu: 13 Tính số đo Trong hình n_ giác có tất cả n(n − 3) 2 đường chéo. Từ công thức trên ta nhận ra rằng, nếu cho số cạnh của một đa giác thì sẽ biết được số đường chéo của đa giác đó. Ngược lại nếu cho số đường chéo của một đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó. Chằng hạn: + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là 10(10 − 3) = 35 2 + Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu? Ta có n(n − 3) 2 = 35 ⇔ n2 – 3n = 70 3 17 ⇔ (n − ) 2 = ( ) 2 ⇔ n = 10 2 2 Vậy đa giác đó có 10 cạnh. + Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu? Giải pt n(n − 3) = 2 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô nghiệm, nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36 Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường chéo của một đa giác + Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo không? Giải phương trình: n(n − 3) = 2 n(n − 3) 2 n ⇔ n2 – 5n = 0 ⇔ = n ( n ∈ Z + n ≥ 3 ) ta sẽ tìm được câu trả lời. n = 5. Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác. + Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như có tồn tại hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay là tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo nằm trong một khoảng xác đinh. VD: Cho 14 < n( n - 3) 2 < 27 ⇔ 28 < n2 – 3n < 54 14 11 3 15 11 3 15 ⇔ ( )2 < (n − ) 2 < ( ) 2 ⇔ < n − < 2 2 2 2 2 2 ⇔7 |
