Bài 1 trang 59 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[P, Q, R, S\] là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh \[AB, BC, CD, DA\]. Chứng minh rằng nếu bốn điểm \[P, Q, R, S\] đồng phẳng thì
a] Ba đường thẳng \[PQ, SR, AC\] hoặc song song hoặc đồng quy
b] Ba đường thẳng \[PS, RQ, BD\] hoặc song song hặc đồng quy
Lời giải:
a] Gọi mặt phẳng qua bốn điểm \[P, Q, R, S\] là \[[α]\]. Ba mặt phẳng \[[ α]\], \[[ABC]\] và \[[ACD]\] đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là \[PQ, AC, RS => PQ, AC, RS\] hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
b] Chứng minh tương tự ta được ba đường thẳng \[PS, RQ\], và \[BD\] hoặc song song hoặc đồng quy
Bài 2 trang 59 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho tứ diện \[ABCD\] và ba điểm \[P, Q, R\] lần lượt trên ba cạnh \[AB, CD, BC\]. Tìm giao điểm \[S\] của \[AD\] và mặt phẳng \[[PQR]\] trong hai trường hợp sau đây.
a] \[PR\] song song với \[AC\]
b] \[PR\] cắt \[AC\]
Lời giải:
a] Nếu \[PR // CA\] thì \[[ PRQ] ∩ [ACD] = QS // CA [ S ∈ AD]\] [h.2.34]
b] Nếu \[PR ∩ AC = I\] thì trong \[[ACD]\] kéo dài \[IQ\] cắt \[AD\] tại \[S\] [ h..2.34 b]
Bài 3 trang 60 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là trung đểm của các cạnh \[AB, CD\] và \[G\] là trung điểm của đoạn \[MN\]
a] Tìm giao điểm \[A'\] của đường thẳng \[AG\] và mặt phẳng \[[BCD]\]
b] Qua \[M\] kẻ đường thẳng \[Mx\] song song với \[AA'\] và \[Mx\] cắt \[[BCD]\] tại \[M'\]. Chứng minh \[B, M', A'\] thẳng hàng và \[BM' = M'A' = A'N\].
c] Chứng minh \[GA = 3 GA'\].
Lời giải:
a] Trong \[[ABN]\]: Gọi \[A'=AG \cap BN\]
suy ra \[ A' \in BN\], \[BN \subset [BCD]\].
Do đó: \[A' \in [BCD]\] \[=> A' = AG \cap [BCD]\].
b] \[MM'//AA'\] mà \[AA'\subset [ABA']\] do đó: \[MM'\subset [ABA']\]
Mặt khác \[M'\in [BCD]\] nên \[M'\] thuộc giao tuyến \[A'B\] của \[[ABA']\] và \[[DBC]\]
*] Xét tam giác \[NMM'\] có:
+] \[G\] là trung điểm của \[NM\].
+] \[GA'//MM'\]
\[\Rightarrow A'\] là trung điểm của \[NM'\]
Xét tam giác \[BAA'\] có:
+] \[M \] là trung điểm của \[AB\]
+] \[MM'//AA'\]
\[\Rightarrow M'\] là trung điểm của \[BA'\]
Do đó: \[BM'=M'A'=A'N\].
c] Ta có \[GA'={1\over 2} MM'\]
\[MM'={1\over 2} AA'\]
\[\Rightarrow GA'={1\over 4} AA'\Rightarrow GA=3 GA'\]
Giaibaitap.me
a] Nếu thì hai mặt phẳng
b] Nếu thì ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến đồng qui tại Do đó theo giao tuyến Vậy