Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] điểm \[M\] thuộc cạnh \[BC.\] Gọi \[D, E\] theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \[M\] đến \[AB, AC.\]
\[a]\] So sánh các độ dài \[AM, DE.\]
\[b]\] Tìm vị trí của điểm \[M\] trên cạnh \[BC\] để \[DE\] có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+] Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau.
+] Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Xét tứ giác \[ADME\] ta có:
\[\widehat A = {90^0}\] [gt]
\[MD AB\;\; [gt]\]
\[ \Rightarrow \widehat {MDA} = {90^0}\]
\[ME AC\;\; [gt]\]
\[ \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\]
Suy ra: Tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật [vì có ba góc vuông]
\[ AM = DE\] [tính chất hình chữ nhật]
\[b]\] Ta có: \[AH BC\] nên \[AM AH\][quan hệ đường vuông góc và đường xiên]
Dấu \[=\] xảy ra khi \[M\] trùng với \[H.\]
Mà \[DE = AM\] [chứng minh trên]
Vậy \[DE\] có độ dài nhỏ nhất bằng \[AH\] khi \[M\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến \[BC.\]