Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có mặt bên tạo với đáy một góc bằng \[{60^0}\] và diện tích một mặt bên bằng \[\dfrac{{{a^2}}}{2}\]. Thể tích của hình chóp bằng:
A. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{a^3}\] B. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}\]
C. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\] D. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
- Tính diện tích đáy và chiều cao của hình chóp và suy ra thể tích.
Lời giải chi tiết
Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\], \[O\] là tâm của hình vuông \[ABCD\].
Đặt \[CD = x\]. Do \[{S_{SCD}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\] \[ \Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SCD}}}}{{CD}} = \dfrac{{{a^2}}}{x}\]
Lại có \[OM \bot CD,SM \bot CD\] nên góc giữa \[\left[ {SCD} \right]\] và \[\left[ {ABCD} \right]\] bằng \[\widehat {SMO} = {60^0}\]
Tam giác \[SOM\] vuông tại \[O\] có \[OM = \dfrac{x}{2}\], \[SM = \dfrac{{{a^2}}}{x}\] và \[\widehat {SMO} = {60^0}\]
\[ \Rightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{OM}}{{SM}}\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{2}:\dfrac{{{a^2}}}{x} \Leftrightarrow x = a\]
\[ \Rightarrow OM = \dfrac{a}{2},SM = a\] \[ \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Vậy thể tích \[{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\] \[ = \dfrac{1}{3}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\].
Chọn B.