Đề bài
Cho \[AB\] và \[CD\] là hai đường kính vuông góc của đường tròn \[[O]\]. Trên cung nhỏ \[BD\] lấy một điểm \[M\]. Tiếp tuyến tại \[M\] cắt tia \[AB\] ở \[E\], đoạn thẳng \[CM\] cắt \[AB\] ở \[S\]. Chứng minh \[SE = EM\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức :
+ Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+ Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
Từ đó chứng minh \[\Delta ESM\] cân tại \[E\] để suy ra hai cạnh bên bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[AB \bot CD\] tại \[O\] nên ta có\[\overparen{AC}=\overparen{CB}\] \[=\overparen{AD} =\overparen{BD}\]
- Góc \[CSA\] là góc có đỉnh bên trong đường tròn
Do đó, \[\widehat {CSA} = \dfrac{1}{2}\][sđ\[\overparen{AC}+\] sđ\[\overparen{BM}\]] [1]
- Góc \[CME\] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Do đó, \[\widehat {CME} = \dfrac{1}{2}\] sđ\[\overparen{CM}= \dfrac{1}{2}\][sđ\[\overparen{CB}+\] sđ\[\overparen{BM}\]] [2]
Theo giả thiết\[\overparen{AC}=\overparen{CB}\] \[=\overparen{AD} =\overparen{BD}\]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat {CSA} = \widehat {CME}\]
Mà\[\widehat{CSA} = \widehat{ESM}\] vì hai góc đối đỉnh \[\Rightarrow\widehat{ESM}=\widehat {CME}\]
Vậy \[\Delta MES\] là tam giác cân tại \[E\] nên \[ES = EM.\]