Đề bài - bài 43 trang 125 sgk toán 7 tập 1

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Lấy các điểm \(A,B\) thuộc tia \(Ox\) sao cho \(OA

Lấy các điểm \(C, D\) thuộc tia \(Oy\) sao cho \(OC = OA, OD = OB.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC.\)

Chứng minh rằng:

a) \(AD = BC\);

b) \(EAB = ECD\);

c ) \(OE\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(OAD\) và \(OCB\) có:

+) \(OA = OC\) (giả thiết)

+) \(\widehat{O}\) chung

+) \(OD = OB\) (giả thiết)

\( \Rightarrow OAD = OCB\) (c.g.c)

\( \Rightarrow AD = BC \) (hai cạnh tương ứng).

b) \(OAD = OCB\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow \widehat{D_1}= \widehat{B_1}\);\(\widehat{A _{2}}= \widehat{ C _{2}}\) (các góc tương ứng)

Mặt khác:

\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\) (Hai góc kề bù)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\) (Hai góc kề bù)

Do đó\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}=\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)

Mà\(\widehat{A _{2}} = \widehat{ C _{2}}\) nên\(\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}\)

\(AB = OB - OA \) (1)

\(CD = OD - OC \) (2)

\(OC = OA, OD = OB \) (giả thiết) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AB = CD.\)

Xét \(EAB\) và \(ECD\) có:

+)\(\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}\)(chứng minh trên)

+) \(AB = CD\) (chứng minh trên)

+)\(\widehat{B_1} = \widehat{D_1}\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow EAB = ECD \) (g.c.g)

c) \(EAB = ECD\) (chứng minh câu b)

\( \Rightarrow EA = EC\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(OAE\) và \(OCE \) có:

+) \(OA=OC\) (giả thiết)

+) \(EA=EC\) (chứng minh trên)

+) \(OE\) cạnh chung

\( \Rightarrow OAE = OCE\) (c .c.c)

\(\Rightarrow \widehat{ AOE} = \widehat{ C OE}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(OE\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)