Đề bài
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {{\left[ {x - 1} \right]\left| x \right|} \over x}\]
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đưa hàm số về dạng khoảng rồi vẽ đồ thị.
- Quan sát đồ thị nhận xét tính liên tục và kết luận.
Lời giải chi tiết
\[f\left[ x \right] = {{\left[ {x - 1} \right]\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{x - 1,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr 1 - x,\,{\rm{ nếu\,\, x < 0}} \hfill \cr} \right.\] Hàm số này có tập xác định là \[R\backslash \left\{ 0 \right\}\]
Từ đồ thị dự đoán \[f\left[ x \right]\]liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right],\;\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right]\]nhưng không liên tục trên R.
Thật vậy,
- Với \[x > 0,f\left[ x \right] = x - 1\]là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \[\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right]\]
- Với \[x < 0,f\left[ x \right] = 1 - x\]cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \[\left[ { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right]\]
Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right] = 1\]