Ta có: \[{[z - i]^2} + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {z - i} \right]^2} - 4{i^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {z - i} \right]^2} - {\left[ {2i} \right]^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {z - i + 2i} \right]\left[ {z - i - 2i} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {z + i} \right]\left[ {z - 3i} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\z - 3i = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - i\\z = 3i\end{array} \right.\]
Đề bài
Giải phương trình: \[{[z - i]^2} + 4 = 0\] trên tập số phức.
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích vế trái thành tích rồi giải phương trình.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{[z - i]^2} + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {z - i} \right]^2} - 4{i^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {z - i} \right]^2} - {\left[ {2i} \right]^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {z - i + 2i} \right]\left[ {z - i - 2i} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {z + i} \right]\left[ {z - 3i} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\z - 3i = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - i\\z = 3i\end{array} \right.\]
Vậy phương trình có nghiệm \[{z_1} = - i,{z_2} = 3i\].