Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại A và A. Một cát tuyến qua A cắt [O] và [O] lần lượt tại B và C. Vẽ hai đường thẳng song song lần lượt qua B, C và cắt [O] tại B và cắt [O] tại C. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tứ giác ABBA nội tiếp đường tròn [O], chứng minh \[\widehat {AA'B'} = {180^0} - \widehat {ABB'}\].
+] Tứ giác ACCA nội tiếp đường tròn [O], chứng minh \[\widehat {AA'C'} = {180^0} - \widehat {ACC'}\].
+] Chứng minh \[\widehat {B'A'C'} = \widehat {AA'B'} + \widehat {AA'C'} = {180^0}\].
Lời giải chi tiết
Tứ giác ABBA nội tiếp đường tròn [O] \[ \Rightarrow \widehat {AA'B'} + \widehat {ABB'} = {180^0}\] [tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp] \[ \Rightarrow \widehat {AA'B'} = {180^0} - \widehat {ABB'}\].
Tứ giác ACCA nội tiếp đường tròn [O] \[ \Rightarrow \widehat {AA'C'} + \widehat {ACC'} = {180^0}\] [tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp] \[ \Rightarrow \widehat {AA'C'} = {180^0} - \widehat {ACC'}\].
\[ \Rightarrow \widehat {AA'B'} + \widehat {AA'C'} = {180^0} - \widehat {ABB'} + {180^0} - \widehat {ACC'}\]\[\, = {360^0} - \left[ {\widehat {ABB'} + \widehat {ACC'}} \right]\].
Vì BB // CC nên \[\widehat {ABB'} + \widehat {ACC'} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {AA'B'} + \widehat {AA'C'} = {360^0} - {180^0} = {180^0} \] \[\Rightarrow \widehat {B'A'C'} = {180^0}\].
Vậy A, B, C thẳng hàng.