Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]; đường phân giác \[BE\]. Kẻ \[EH\] vuông góc với \[BC\] [\[H \in BC]\]. Gọi \[K\] là giao điểm của \[AB\] và \[HE.\] Chứng minh rằng:
a] \[ABE= HBE.\]
b] \[BE\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AH.\]
c] \[EK = EC.\]
d] \[AE < EC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng tính chất của tia phân giác.
- Áp dụng tính chất đường trung trực: các điểm các đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- Áp dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a] Hai tam giác vuông \[ABE\] và \[HBE\] có\[BE \] là cạnh huyền chung, \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\] [\[BE\] là tia phân giác của góc \[B\]], dođó \[ABE = HBE\] [cạnh huyền-góc nhọn]
b] Từ\[ABE = HBE\] suy ra \[BA = BH,\]\[ EA = EH\], theo tính chất đườngtrung trực củađoạn thẳng ta có\[BE\] là đườngtrung trực củađoạn thẳng\[AH.\]
c]Do\[EA = EH\],\[\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\],\[\widehat {A} = \widehat {H} = {90^{\circ}}\] nên \[AEK =HEC \] [g.c.g], suy ra \[EK = EC\].
d] Trong tam giác vuông \[AEK\], \[EK\] là cạnh huyền nên\[AE < EK\]mà \[EK= EC\] [câu c] nên \[AE < EC\].