Đề bài
\[P = \left[ {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right]\].
a] Rút gọn P.
b] Tìm x để \[P < \dfrac{1}{2}\].
c] Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tìm điều kiện của x để biểu thức P xác định.
+] Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.
b] Với biểu thức đã rút gọn của P, giải bất phương trình \[P < \dfrac{1}{2}.\]
+] Kết hợp với điều kiện của x để kết luận.
c] Biến đổi hoặc đánh giá để tìm GTNN.
Lời giải chi tiết
a] Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l}P = \left[ {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right]\\ = \dfrac{{2\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right] + \sqrt x \left[ {\sqrt x + 3} \right] - 3x - 3}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}:\dfrac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \dfrac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}.\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\\ = - \dfrac{{3\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 3} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}} \\= - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\]
b] Điều kiện:\[x \ge 0;\;\;x \ne 9.\]
\[\begin{array}{l}P < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} < \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 + \sqrt x + 3}}{{2\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{2\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} > 0\end{array}\]
Ta thấy với mọi \[x \ge 0\] thì \[\dfrac{{\sqrt x + 9}}{{2\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} > 0.\]
Vậy với \[x \ge 0,\;\;x \ne 9\] thì \[P < \dfrac{1}{2}.\]
c] Điều kiện:\[x \ge 0;\;\;x \ne 9.\]
Ta có: \[P = - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\]
\[\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3\]\[\; \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \dfrac{1}{3}\]\[\; \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \ge - \dfrac{3}{3} = - 1.\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\]
Vậy \[P\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[ - 1\] khi \[x = 0.\]