Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] và điểm \[I\left[ {{x_0};{y_o}} \right]\]. Phép đối xứng tâm \[{D_I}\] biến đường thẳng \[\] thành đường thẳng \[\]. Viết phương trình của \[\]
Lời giải chi tiết
Giả sử \[M [x , y] \in \] và \[M [x , y'] \in \] và I là trung điểm của MM nên:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{{x + x'}}{2}\\
{y_0} = \frac{{y + y'}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + x' = 2{x_0}\\
y + y' = 2{y_0}
\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2{x_0} - x'} \cr {y = 2{y_0} - y'} \cr} } \right.\]
\[M[x , y] \] nên
\[\begin{array}{l}
a\left[ {2{x_0} - x'} \right] + b\left[ {2{y_0} - y'} \right] + c = 0\\
\Leftrightarrow 2a{x_0} - ax' + 2b{y_0} - by' + c = 0\\
\Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} + c = ax' + by'\\
\Leftrightarrow ax' + by' - \left[ {2a{x_0} + 2b{y_0} + c} \right] = 0
\end{array}\]
Vậy M nằm trên đường thẳng ảnh \[\] có phương trình:
\[ax + by - \left[ {2a{x_0} + 2b{y_0} + c} \right] = 0\]