Đề bài
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \[a\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chia khối bát diện đều thành hai khối chóp tứ giác đều.
+] Xác định chiều cao và áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:\[V = \dfrac{1}{3}h.{S_d}\]
Lời giải chi tiết
Chia khối tám mặt đều cạnh \[a\] thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh \[a\] là \[E.ABCD\] và \[F.ABCD\].
Xét chóp tứ giác đều \[E.ABCD\]. Gọi \[H\] là tâm hình vuông \[ABCD\] ta có:\[EH \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\] nên \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \] \[= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[EHA\] có:\[E{H^2} = E{A^2} - A{H^2} \] \[= {a^2} - {\left[ {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} \]\[= \dfrac{{{a^2}}}{2}\]
\[\Rightarrow EH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Rightarrow {V_{E.ABCD}} = \dfrac{1}{3}EH.{S_{ABCD}} \] \[= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\]
Vậythể tích khối tám mặt đều cạnh \[a\] là:\[V = 2.{V_{E.ABCD}}= \displaystyle {{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}\].
Chú ý: Hình chóp đa giác đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy.