Phân giác, trung tuyến, trung trực… Một tam giác có bao nhiêu đường đặc biệt nhỉ? Hôm nay, chúng ta sẽ học về: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng – Bài tập & Lời giải SGK Toán 7. iToan biên soạn bài giảng này với mục đích giúp các em học sinh hiểu và ứng dụng được một số định lý liên quan đến đường trung trực của đoạn thẳng và trong một tam giác.
Lý thuyết đường trung trực của đoạn thẳng
Định lý tính chất các điểm thuộc trung trực
- Giả thiết: M thuộc trung trực của AB
- Kết luận: MA = MB.
Định lý đảo
-
-
-
- Giả thiết: MA=MB
- Kết luận: M thuộc đường trung trực của AB.
- Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo, ta có: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
-
-
Ví dụ: Cho ΔABC. Hãy tìm một điểm cách đều hai cạnh AB, AC và cách đều hai đỉnh A, B.
Giải:
Mọi điểm trên tia phân giác của góc A thì cách đều hai cạnh AB, AC [tính chất tia phân giác của một góc].
Mọi điểm trên đường trung trực của AB thì cách đều hai đỉnh A, B [tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng].
Vậy điểm \[M\] cần tìm là giao điểm của đường phân giác góc A và đường trung trực của AB.
Cùng xem thêm video bài giảng của cô giáo để hiểu thêm về bài học nhé!
Lời giải SGK Toán 7 bài Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Bài 44
Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Điểm M thuộc đường trung trực của AB
=> MA = MB [định lí 1]
Vì MA = 5cm nên MB = 5cm
Bài 45
Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Gợi ý: Sử dụng định lí 2
Hình 43
Lời giải:
Theo cách vẽ thì hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau.
Do đó PM = PN và QM = QN
=> P, Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN.
Áp dụng định lí 2 suy ra P, Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN [đpcm].
Bài 46
Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Lời giải:
– Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC [định lí 2].
– Tương tự: điểm D và E cũng nằm trên đường trung trực của BC.
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng [đpcm].
Bài 47
Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = Δ BMN.
Lời giải:
Xét ΔAMN và ΔBMN có:
– AM = MB [vì M nằm trên đường trung trực của AB]
– AN = BN [vì N nằm trên đường trung trực của AB]
– MN chung
=> ΔAMN = ΔBMN [c.c.c] [đpcm]
Bài 48
Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.
Lời giải:
Gọi P là giao điểm của LN với xy.
– Nếu I không trùng P
Ta có: xy là đường trung trực của ML
=> IM = IL [tính chất đường trung trực của đoạn thẳng]
Xét ΔINL có IL + IN > LN [bất đẳng thức tam giác]
=> IM + IN > LN
– Nếu I ≡ P
IM + IN = IL + IN = LN
Bài 49
Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B [h.44]. Hãy tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?
Lời giải:
Ta có độ dài đường ống dẫn nước = CA + CB.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng a.
=> a là đường trung trực của AA’ nên CA’ = CA.
Do đó, CA + CB = CA’ + CB
– Nếu C ≡ C’ [1] [không nằm trên A’B] thì ta có:
CA + CB ≥ A’B [bất đẳng thức ΔA’C’B]
– Nếu C nằm trên A’B thì CA + CB = A’B [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra: độ dài đường ống là ngắn nhất thì C phải là giao điểm của A’B với a.
Bài 50
Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư [h.45]. Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.
Lời giải:
Gọi 2 điểm dân cư là hai điểm A, B. Để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường và đường trung trực của AB.
Bài 51
Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:
[1] Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt d tại hai điểm A và B.
[2] Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C [C ≠ P]
[3] Vẽ đường thẳng PC.
Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.
Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa [bằng thước và compa]
Lời giải:
a] A, B nằm trên cung tròn có tâm P nên PA = PB.
C là giao điểm của 2 cung bằng nhau có tâm tại A nên CA = CB.
=> P; C cách đều A và B
=> đường thẳng CP là đường trung trực của AB [định lí 2]
Do đó: PC ⊥ d
b] Một cách vẽ khác
– Lấy điểm A bất kì trên d
– Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M
– Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại C
– Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d.
Bài tập tự luyện Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Các bài tập tự luyện với hình ảnh trực quan sẽ giúp các em hình dung rõ hơn về các định lý, tính chất trong bài!
Phần câu hỏi
Câu 1: Cho hình bên. Khẳng định nào dưới đây không đúng?
A. GA=GB
B. AN=AM
C. AN=BM
D. GA=GB=GC
Câu 2: Chọn phát biểu đúng:
A. Một đường thẳng được gọi là trung trực của một đoạn thẳng nếu nó cắt đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
B. Một đường thẳng được gọi là trung trực của một đoạn thẳng nếu nó đi qua một đầu mút của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng tại điểm đó.
C. Một đường thẳng được gọi là trung trực của một đoạn thẳng nếu nó vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Câu 3: Cho điểm M thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết MA=7cm. Độ dài đoạn thẳng MB là:
A. MB=10cm
B. MB=14cm
C. MB=7cm
D. MB=21cm
Câu 4: Biết rằng DH là trung trực của đoạn EF . Độ dài DE=26cm.
Tính DF ?
A. 13
B. 20
C. 25
D. 26
Câu 5: Cho tam giác cân ABC[AB=AC],M là trung điểm của BC. Lấy N thuộc đường thẳng AM. Chọn khẳng định đúng:
A. NB=NC
B. NB>NC
C. NB> Xem thêm: