Câu 1 trang 23 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a. \[{{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\]
b. \[{{{x^2}\left[ {x + 2} \right]} \over {x{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {x \over {x + 2}}\]
c. \[{{3 - x} \over {3 + x}} = {{{x^2} - 6x + 9} \over {9 - {x^2}}}\]
d. \[{{{x^3} - 4x} \over {10 - 5x}} = {{ - {x^2} - 2x} \over 5}\]
Giải:
a. \[{x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4};5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4}\]
\[ \Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}\]. Vậy \[{{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\]
b. \[{x^2}\left[ {x + 2} \right].\left[ {x + 2} \right] = {x^2}{\left[ {x + 2} \right]^2};x{\left[ {x + 2} \right]^2}.x = {x^2}{\left[ {x + 2} \right]^2}\]
\[ \Rightarrow {x^2}\left[ {x + 2} \right].\left[ {x + 2} \right] = x{\left[ {x + 2} \right]^2}x\].
Vậy \[{{{x^2}\left[ {x + 2} \right]} \over {x{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {x \over {x + 2}}\]
c. \[\left[ {3 - x} \right]\left[ {9 - {x^2}} \right] = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\]
\[\left[ {3 + x} \right]\left[ {{x^2} - 6x + 9} \right] = 3{x^2} - 18x + 27 + {x^3} - 6{x^2} + 9x = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\]
\[ \Rightarrow \left[ {3 - x} \right]\left[ {9 - {x^2}} \right] = \left[ {3 + x} \right]\left[ {{x^2} - 6x + 9} \right]\].
Vậy \[{{3 - x} \over {3 + x}} = {{{x^2} - 6x + 9} \over {9 - {x^2}}}\]
d. \[\left[ {{x^3} - 4x} \right].5 = 5{x^3} - 20x;\left[ {10 - 5x} \right]\left[ { - {x^2} - 2x} \right] = - 10{x^2} - 20x + 5{x^3} + 10{x^2} = 5{x^3} - 20x\]
\[ \Rightarrow \left[ {{x^3} - 4x} \right].5 = \left[ {10 - 5x} \right]\left[ { - {x^2} - 2x} \right]\]
Vậy \[{{{x^3} - 4x} \over {10 - 5x}} = {{ - {x^2} - 2x} \over 5}\]
Câu 2 trang 24 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
a. \[{A \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\]
b. \[{{4{x^2} - 3x - 7} \over A} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\]
c. \[{{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
d. \[{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\]
Giải:
a. \[{A \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\]
\[ \Rightarrow A\left[ {4{x^2} - 1} \right] = \left[ {2x - 1} \right].\left[ {6{x^2} + 3x} \right]\]
\[ \Rightarrow A\left[ {2x - 1} \right]\left[ {2x + 1} \right] = \left[ {2x - 1} \right].3x\left[ {2x + 1} \right]\]
\[ \Rightarrow A = 3x\]
Ta có: \[{{3x} \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\]
b. \[{{4{x^2} - 3x - 7} \over A} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {4{x^2} - 3x - 7} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x - 7} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4{x^2} + 4x - 7x - 7} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x - 7} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left[ {x + 1} \right] - 7\left[ {x + 1} \right]} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x - 7} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {4x - 7} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x - 7} \right] \cr & \Rightarrow A = \left[ {x + 1} \right]\left[ {2x + 3} \right] = 2{x^2} + 3x + 2x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3 \cr} \]
Ta có: \[{{4{x^2} - 3x - 7} \over {2{x^2} + 5x + 3}} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\]
c. \[{{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {4{x^2} - 7x + 3} \right].\left[ {{x^2} + 2x + 1} \right] = A.\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {{\pi \over 2} - \theta } \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4{x^2} - 4x - 3x + 3} \right].{\left[ {x + 1} \right]^2} = A\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left[ {x - 1} \right] - 3\left[ {x - 1} \right]} \right].{\left[ {x + 1} \right]^2} = A\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {4x - 3} \right]{\left[ {x + 1} \right]^2} = A\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \cr & \Rightarrow A = \left[ {4x - 3} \right]\left[ {x + 1} \right] = 4{x^2} + 4x - 3x - 3 = 4{x^2} + x - 3 \cr} \]
Ta có: \[{{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {{4{x^2} + x - 3} \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
d. \[{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {{x^2} - 2x} \right].A = \left[ {2{x^2} - 3x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 2x} \right] \cr & \Rightarrow x\left[ {x - 2} \right].A = \left[ {2{x^2} - 4x + x - 2} \right].x\left[ {x + 2} \right] \cr & \Rightarrow x\left[ {x - 2} \right].A = \left[ {2x\left[ {x - 2} \right] + \left[ {x - 2} \right]} \right].x\left[ {x + 2} \right] \cr & \Rightarrow x\left[ {x - 2} \right].A = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right].x.\left[ {x + 2} \right] \cr & \Rightarrow A = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right] = 2{x^2} + 4x + x + 2 = 2{x^2} + 5x + 2 \cr} \]
Ta có : \[{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
Câu 3 trang 24 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.
a. \[{{5x + 3} \over {x - 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} \over {{x^2} - 4}}\]
b. \[{{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\]
c. \[{{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\]
d. \[{{2{x^2} - 5x + 3} \over {{x^2} + 3x - 4}} = {{2{x^2} - x - 3} \over {{x^2} + 5x + 4}}\]
Giải:
a. \[\left[ {5x + 3} \right]\left[ {{x^2} - 4} \right] = 5{x^3} - 20x + 3{x^3} - 12\]
\[\left[ {x - 2} \right]\left[ {5{x^2} + 13x + 6} \right] = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x - 10{x^2} - 26x - 12 = 5{x^3} - 20x + 3{x^2} - 12\]
Đẳng thức đúng.
b. \[\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right] = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 = {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9\]
\[\left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3} \right] = {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9 \Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right] \ne \left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3} \right]\]
Đẳng thức sai
\[{{x + 1} \over {x + 3}} \ne {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\].
Sửa lại \[{{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\]
c. \[\left[ {{x^2} - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] = {x^3} + {x^2} - 2x - 2\]
\[\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x + 2} \right] = {x^3} + 2{x^2} - x - 2\]
\[\left[ {{x^2} - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] \ne \left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\]
Đẳng thức sai
\[{{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\].
Sửa lại \[{{{x^2} + x - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\]
d. \[\left[ {2{x^2} - 5x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 5x + 4} \right]\]
\[ = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} - 5{x^3} - 25{x^2} - 20x + 3{x^2} + 15x + 12\]
\[\eqalign{ & = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \cr & \left[ {{x^2} + 3x - 4} \right]\left[ {2{x^2} - x - 3} \right] = 2{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 6{x^3} - 3{x^2} - 9x - 8{x^2} + 4x + 12 \cr & = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \cr & \Rightarrow \left[ {2{x^2} - 5x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 5x + 4} \right] = \left[ {{x^2} + 3x - 4} \right]\left[ {2{x^2} - x - 3} \right] \cr} \]
Đẳng thức đúng
Câu 1.1 trang 24 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm đa thức P để \[{{x - 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {P \over {{x^3} - 1}}\] .
Phương án nào sau đây là đúng ?
A. \[P = {x^2} + 3\]
B. \[P = {x^2} - 4x + 3\]
C. \[P = x + 3\]
D. \[P = {x^2} - x - 3\]
Giải:
Chọn B. \[P = {x^2} - 4x + 3\]
Câu 1.2 trang 24 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :
a. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {x - 2}} = {{\left[ {x - 1} \right]Q} \over {{x^2} - 4}}\]
b. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left[ {x - 2} \right]Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\]
Giải:
a. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {x - 2}} = {{\left[ {x - 1} \right]Q} \over {{x^2} - 4}}\]
P \[ = x - 1\] ;Q \[ = {\left[ {x + 2} \right]^2} = {x^2} + 4x + 4\]
b. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left[ {x - 2} \right]Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\]
P \[ = \left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] = {x^2} - x - 2\]
Q \[ = \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 1} \right] = {x^2} + x - 2\]
Câu 1.3 trang 24 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hai phân thức \[{P \over Q}\] và\[{R \over S}\].
Chứng minh rằng :
a. Nếu \[{P \over Q} = {R \over S}\] thì \[{{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\]
b. Nếu và P Q thì R S và
Giải:
a. \[{P \over Q} = {R \over S}\] \[ \Rightarrow PS = QR\] [1]. Vì \[{P \over Q},{R \over S}\] là phân thức
Q, S khác không. Cộng vào hai vế của đẳng thức [1] với Q S
P S + Q S = Q R + Q S [P + Q]. S = Q [R + S]
\[{{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\]
b. \[{P \over Q} = {R \over S}\] P S = Q R [1] và P Q, R S
Trừ từng vế đẳng thức [1] với PR : P S P R = Q R P R
P [S R] = R [Q P] \[{P \over {Q - P}} = {R \over {S - R}}\]