Bài 1 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho điểm \[A\] không nằm trong mặt phẳng \[[α]\] chứa tam giác \[BCD\]. Lấy \[E,F\] là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \[AB, AC\]
a] Chứng minh đường thẳng \[EF\] nằm trong mặt phẳng \[[ABC]\]
b] Khi \[EF\] và \[BC\] cắt nhau tại \[I\], chứng minh \[I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCD]\] và \[[DEF]\]
Lời giải:
a] \[E, F [ABC] \Rightarrow EF [ABC]\]
b] \[I EF \Rightarrow I [ DEF]\]
\[I\in BC\Rightarrow I\in[BCD]\]
Do đó \[I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCD]\] và \[[DEF]\].
Bài 2 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Gọi \[M\] là giao điểm của đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[[α ]\]. Chứng minh \[M\] là điểm chung của \[[α ]\] với một mặt phẳng bất kì chứa \[d\]
Lời giải:
Hiển nhiên \[M [α ]\] , Gọi \[[β]\] là mặt phẳng bất kì chứa \[d\], ta có
\[\left\{ \matrix{
M \in d \hfill \cr
d \subset [\beta ] \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in [\beta ]\]
Vậy \[M\] là điểm chung của \[[α ]\] và mọi mặt phẳng \[[β]\] chứa \[d\].
Bài 3 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho ba đường thẳng \[{d_{1,}}{d_2},{d_3}\] không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải:
Gọi \[{d_{1,}}{d_2},{d_3}\] là ba đường thẳng đã cho. Gọi \[I =d_1\cap d_2\] Ta chứng minh \[I d_3\]
\[I d_1\RightarrowI [β] = [d_1,d_3]\]
\[I d_2\RightarrowI [\gamma] = [d_2,d_3]\]
Từ đó suy ra, \[I [\beta ] \cap [\gamma ]=d_3\].
Bài 4 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho bốn điểm \[A, B, C\] và \[D\] không đồng phẳng. Gọi \[{G_{A}}^{}\], \[{G_{B}}^{}\], \[{G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\] lần lượt là trọng tâm của tam giác \[BCD, CDA, ABD, ABC\]. Chứng minh rằng, \[A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\] đồng quy
Giải
Gọi \[I\] là trung điểm của \[CD\]. Ta có \[ G_{A}\in BI, {G_{B}}\subset AI\]. Trong \[[ABI]\] gọi \[ G = A{G_{A}}\]\[ \cap B{G_{B}}^{}\].
Dễ thấy \[ \frac{I{G_{A}}^{}}{IB}\]= \[ \frac{I{G_{B}}^{}}{IA} = \frac{1}{3}\]nên \[{G_{A}}^{}\] \[{G_{B}}^{} // AB\] và \[ \frac{GA}{G{G_{A}}^{}}\]= \[ \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\]= 3
Lí luận tương tự, ta có \[C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}\] cũng cắt \[A{G_{A}}^{}\] tại \[G'\], \[G''\] và \[ \frac{G'A}{G'{G_{A}}^{}}\]= 3, \[ \frac{G''A}{G''{G_{A}}^{}}= 3\]
Như vậy \[G G' G''\].
Bài 5 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11
Bài 5. Cho tứ giác \[ABCD\] nằm trong mặt phẳng \[[α]\] có hai cạnh \[AB\] và \[CD\] không song song. Gọi \[S\] là điểm nằm ngoài mặt phẳng \[[α]\] và \[M\] là trung điểm đoạn \[SC\].
a] Tìm giao điểm \[N\] của đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[[MAB]\]
b] Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Chứng minh rằng ba đường thẳng \[SO, AM, BN\] đồng quy
Lời giải:
a] Trong mặt phẳng \[[α]\] vì \[AB\] và \[CD\] không song song nên \[AB DC = E\]
=> \[E DC\], mà \[DC [SDC]\]
=> \[E [ SDC]\]. Trong \[[SDC]\] đường thẳng \[ME\] cắt \[SD\] tại \[N\]
=> \[N ME\] mà \[ME [MAB]\]
=> \[N [ MAB]\]. Lại có \[N SD => N = SD [MAB]\]
b] \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]\[ => O\] thộc \[AC\] và \[BD\], mà \[AC [ SAC]\]
=> \[O [ SAC], BD [SBD] , O [SBD]\]
=> \[O\] là một điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\], mặt khác \[S\] cũng là điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD] => [SAC] [SBD] = SO\]
Trong mặt phẳng \[[AEN]\] gọi \[I = AM BN\] thì \[I\] thuộc \[AM\] và \[I\] thuộc \[BN\]
Mà \[AM [SAC] => I [SAC], BN [ SBD] => I [SBD]\]. Như vậy \[I\] là điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\] nên \[I\] thuộc giao tuyến \[SO\] của \[[SAC]\] và \[[SBD]\] tức là \[S, I, O\] thẳng hàng hay \[SO, AM, BN\] đồng quy.