Bài 1 trang 28 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a] \[ sin [x + 2] =\frac{1}{3}\]
b] \[ sin 3x = 1\]
c] \[ sin [\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}] =0\]
d] \[sin [2x + 20^0] =-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Giải:
a]
\[sin [x + 2] =\frac{1}{3}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x+2=arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+2=\pi -arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\]
Vậy nghiệm của phương trình là\[x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi [k\in \mathbb{Z}]\]
và\[x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi [k\in \mathbb{Z}]\]
b]
\[sin 3x = 1 \Leftrightarrow sin3x=sin\frac{\pi }{2}\]
\[\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi ,k\in \mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},[k\in \mathbb{Z}]\]
Vậy nghiệm của phương trình là\[x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},[k\in \mathbb{Z}]\]
Câu c:
\[sin\left [ \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right ]=0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}= k\pi, k\in \mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k \pi,k\in \mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}, k\in Z\]
Vậy nghiệm của phương trình là\[x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z\]
d]
\[sin[2x+20^0]=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\Leftrightarrow sin [2x +20^0] = sin[-60^0]\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x+20^0=240^0+k360^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-40^0+k180^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=110^0+k180^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\]
Vậy nghiệm của phương trình là\[x=-40^0+k180^0, [k\in \mathbb{Z}]\]; \[x=110^0+k180^0, [k\in \mathbb{Z}]\]
Bài 2 trang 28 sgk giải tích 11
Với những giá trị nào của \[x\] thì giá trị của các hàm số \[y = sin3x\] và \[y = sin x\] bằng nhau?
Giải
\[x\] thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi
\[\sin 3x = sinx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = x + k2\pi \hfill \cr
3x = \pi - x + k2\pi \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.[k \in\mathbb{Z} ]\].
Vậy \[\left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.[k \in\mathbb{Z} ]\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3 trang 28 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a] \[ cos [x - 1] =\frac{2}{3}\]
b] \[cos 3x = cos 12^0\]
c]\[cos [\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}]=-\frac{1}{2}\]
d]\[cos^22x =\frac{1}{4}\]
Trả lời:
a]
\[cos [x - 1] = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x - 1 = arccos \frac{2}{3} + k2\pi\\ \\ x - 1 = - arccos \frac{2}{3} + k2\pi \end{matrix}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , [k \in Z] \\ \\ x = 1 - arccos \frac{2}{3} + k2\pi , [k \in Z]. \end{matrix}\]
Vậy nghiệm phương trình là\[x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , [k \in Z]\]hoặc\[x = 1 - arccos \frac{2}{3} + k2\pi , [k \in Z].\]
b]
\[cos 3x = cos 12^0\Leftrightarrow 3x = \pm 12^0 + k360^0 [k\in \mathbb{Z}]\]
\[\Leftrightarrow x = \pm 4^0 + k120^0 , [k \in Z].\]
Vậy nghiệm phương trình là\[x = \pm 4^0 + k120^0 , [k \in Z].\]
c]
\[cos\left [ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right ]=-\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow cos\left [ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right ]=cos\left [ \pi -\frac{\pi }{3} \right ]\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2 \pi\\ \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2 \pi \end{matrix},[k\in \mathbb{Z}]\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{11\pi }{18}+k.\frac{4\pi }{3} \\ \\ x=-\frac{5\pi}{18}+k.\frac{4\pi }{3} \end{matrix},[k\in \mathbb{Z}]\]
Vậy nghiệm phương trình là\[x=\frac{11\pi }{18}+\frac{4 k\pi }{3}\]và\[x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{4 k\pi }{3} [k\in \mathbb{Z}]\]
d]
\[cos^22x =\frac{1}{4}\Leftrightarrow\]
\[\Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=\frac{1}{2}\\ \\ cos2x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=cos \frac{\pi }{3}\\ \\ cos2x= cos\frac{2\pi }{3} \end{matrix}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\pm \frac{\pi }{3} + k2 \pi\\ \\ 2x=\pm \frac{2\pi }{3} + k2 \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\\ \\ x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\]
Vậy nghiệm phương trình là\[x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\] và\[x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi, k\in \mathbb{Z}\].
Bài 4 trang 29 sgk giải tích 11
Giải phương trình \[{{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\]
Giải:
Điều kiện\[sin2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \frac{\pi }{2}+k2 \pi\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+k \pi[k\in \mathbb{Z}]\]
\[{{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\Rightarrow 2cos2x=0\]
Phương trình đã cho tương đương với:
\[cos2x=0 \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi\\ \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k\pi \ \ [loai]\\ \\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi [k\in \mathbb{Z}] \end{matrix}\]
Vậy nghiệm phương trình là\[x=-\frac{\pi }{4}+k\pi [k\in \mathbb{Z}]\].