Bài 1 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 1. Chứng minh các công thức sau
a] \[\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}\left[ {|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - \overrightarrow {|a} - \overrightarrow b {|^2}} \right]\];
b] \[\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}\left[ {|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}} \right]\].
Hướng dẫn trả lời
a] Ta có \[|\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2} = {[\overrightarrow a - \overrightarrow b ]^2} = |\overrightarrow a {|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + |\overrightarrow b {|^2}\]
\[\Rightarrow \,\,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}[|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}]\]
b] Ta có \[|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2} = {[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]^2} - {[\overrightarrow a - \overrightarrow b ]^2}\]
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = [\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow b ][\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b ] = 4.\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}[|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}]. \cr} \]
Bài 2 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 2. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
a] Chứng minh rằng với mọi điểm \[M\], ta luôn có
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\].
b] Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\], trong đó \[k\] là một số cho trước.
Hướng dẫn trả lời
Ta có
\[\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr
&= {[\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} ]^2} + {[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} ]^2} + {[\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} ]^2} \cr
& = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2} - 2\overrightarrow {GM} [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ] \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \]
b] Áp dụng câu a], ta có
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,3M{G^2} = {k^2} - [G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}]\]
+] Nếu \[{k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\]thì tập hợp các điểm \[M\] là đường tròn tâm \[G\] bán kính \[\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - [G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}]} \right]} \].
+] Nếu \[{k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\]thì tập hợp các điểm \[M\] chỉ gồm một phần tử là \[G\].
+] Nếu \[{k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\]thì tập hợp điểm \[M\] là tập rỗng.
Bài 3 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 3. Cho hình bình hành \[ABCD\]. Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\], trong đó \[k\] là một số cho trước.
Hướng dẫn trả lời
Gọi \[O\] là tâm hình bình hành \[ABCD\], ta có
\[\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {[\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} ]^2} + {[\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} ]^2} + {[\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} ]^2} + {[\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} ]^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} [\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2[O{A^2} + O{B^2}] + 4O{M^2} \cr} \]
Do đó \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} - 2[O{A^2} + O{B^2}]\].
+] Nếu \[{k^2} > 2[O{A^2} + O{B^2}]\]thì tập hợp các điểm \[M\] là đường tròn tâm \[O\] bán kính \[\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2[O{A^2} + O{B^2}]} \right]} \].
+] Nếu \[{k^2} = 2[O{A^2} + O{B^2}]\]thì tập hợp các điểm \[M\] chỉ gồm một phần tử là \[O\].
+] Nếu \[{k^2} < 2[O{A^2} + O{B^2}]\]thì tập hợp điểm \[M\] là tập rỗng.
Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng
a] \[AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\];
b] \[B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\].
Giải
Ta có \[\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ]\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} ]\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ].\,[\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}[\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ] \cr} \]
Vì \[AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\]nên \[\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} = 0\]
Mặt khác
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr
& \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C'} \cr} \]
Tương tự \[\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} = {1 \over 2}[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} ].\,[\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} ]\]
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}[\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} ] =0\cr
& \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \]
b] Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} = [\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ].\,[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \]
\[\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\]
\[\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AC.A{C'}.\cos [{180^0} - \widehat {BA{B'}}] \]
\[= - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\]
Do đó: \[\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\]
Vậy \[B{C'} \bot {B'}C\].