Câu 107 trang 153 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Tìm các tam giác cân trên hình dưới.
Giải
Ta có: AB = AC [gt] nên ABC cân tại A.
\[\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {{180^\circ - \widehat {BAC}} \over 2} = {{180^\circ - 36^\circ } \over 2} = 72^\circ \]
\[\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {ABE}\]=> ABE cân tại E
\[\widehat E = 180^\circ - 2\widehat {ABE} = 180^\circ - 2.72^\circ = 36^\circ \]
\[\widehat {CA{\rm{E}}} = \widehat E\]nên ACE cân tại C.
Trong DAC, ta có:
\[\widehat {DAC} = 180^\circ - \left[ {\widehat D + \widehat {AC{\rm{D}}}} \right] = 180^\circ - \left[ {36^\circ + 72^\circ } \right] = 72^\circ \]
Vì \[\widehat {DAC} = \widehat {AC{\rm{D}}}\]nênDAC cân tại D
\[\eqalign{
& \widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} \cr
& \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC} - \widehat {BAC} = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ \cr} \]
\[ \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat D\]nên ABD cân tại B
\[\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{ED}}} = 36^\circ \]nên ADE cân tại A
Vậy có 6 tam giác cân trong hình trên.
Câu 108 trang 153 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Bạn Mai vẽ tia phân giác của một góc như sau: Đánh dấu trên hai cạnh của bốn góc bốn đoạn thẳng bằng nhau: OA = AB = OC = CD [hình dưới]. Kẻ các đoạn thẳng AD, BC, chúng cắt nhau ở K. Hãy giải thích vì sao OK là tia phân giác của góc O.
Hướng dẫn: Chứng minh rằng:
a] OAD = OCB
b] KAB = KCD
Giải
a] Xét OAD và OCB, ta có:
OA = OC [gt]
\[\widehat O\]chung
OD = OB [gt]
Suy ra: OAD = OCB [c.g.c]
b] Ta có: OAD = OCB
Suy ra: \[\widehat D = \widehat B\][hai góc tương ứng]
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\][hai góc tương ứng]
Lại có: \[\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \][kề bù]
\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \][kề bù]
Suy ra: \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\]
Xét KCD và KAB, ta có:
\[\widehat D = \widehat B\][chứng minh trên]
CD = AB [gt]
\[\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\][chứng minh trên]
Suy ra: KCD = KAB [g.c.g] => KC = KA [hai cạnh tương ứng]
Xét OCK = OAK, ta có:
OC = OA [gt]
OK cạnh chung
KC = KA [chứng minh trên]
Suy ra: OCK = OAK [c.c.c] => \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\][hai góc tương ứng]
Vậy OK là tia phân giác của góc O
Câu 109 trang 153 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ \[BH \bot AC\]. Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ \[{\rm{D}}E \bot AC,DF \bot AB\]. Chứng minh rằng DE + DF = BH.
Giải
Kẻ \[{\rm{DK}} \bot {\rm{BH}}\]
Ta có: \[BH \bot AC\left[ {gt} \right]\]
Suy ra: DK // AC [hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat C\][hai góc đồng vị]
Vì ABC cân tại A nên \[\widehat B = \widehat C\][tính chất tam giác cân]
Suy ra: \[\widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat B\]
Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:
\[\widehat {BF{\rm{D}}} = \widehat {DKB} = 90^\circ \]
BD cạnh huyền chung
\[\widehat {FB{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}B}\][chứng minh trên]
Suy ra: BFD = DKB [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \]DF = BK [hai cạnh tương ứng] [1]
Nối DH. Xét DEH = DKH, ta có:
\[\widehat {DEH} = \widehat {DKH} = 90^\circ \]
DH cạnh huyền chung
\[\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\][hai góc so le trong]
Suy ra: DEH = DKH [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra: DE = HK [hai cạnh tương ứng] [2]
Mặt khác: BH = BK + HK [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: DF + DE = BH
Câu 110 trang 153 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A có \[{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}\]và BC=15cm. Tính các độ dài AB, AC.
Giải
Theo đề bài, ta có:
\[{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4} \Rightarrow {{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}\]
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[{{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}}\left[ 1 \right]\]
Tam giác ABC vuông tại A
Áp dụng Pytago vào tam giác ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{C^2}} \over {25}} = {{{{15}^2}} \over {25}} = {{225} \over {25}} = 9\]
\[{\rm{A}}{B^2} = 9.9 = 81 \Rightarrow AB = 9\left[ {cm} \right]\][vì AB > 0]
\[A{C^2} = 16.9 = 144 \Rightarrow AC = 12\left[ {cm} \right]\][vì AC > 0]
Giaibaita.me