Câu 1.1 trang 156 sách bài tập [BT] Toán lớp 8 tập 1
Mỗi câu sau đây đúng hay ai ?
a. Tam giác và tứ giác không phải là đa giác
b. Hình gồm n đoạn thẳng đôi một có một điểm chung được gọi là đa giác [với n là ố tự nhiên lớn hơn 2]
c. Hình gồm n đoạn thẳng [n là ố tự nhiên lớn hơn 2] trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng được gọi là đa giác.
d. Hình tạo bởi nhiều hình tam giác được gọi là đa giác
e. Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác lồi
f. Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi
g. Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi.
Giải:
a. ai; b. ai; c. Đúng; d. ai; e. ai; f. ai; g. ai
Câu 1.2 trang 156 sách bài tập [BT] Toán 8 tập 1
a. Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều.
b. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông [tứ giác đều]
c. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.
Giải:
a. Ta có: M là trung điểm của BC
N là trung điểm của AC
nên MN là đường trung bình của ABC MN = \[{1 \over 2}\]AB
Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của ABC
MP = \[{1 \over 2}\]AC
NP là đường trung bình của ABC NP = \[{1 \over 2}\]BC
mà AB = BC = AC [gt] MN = MP = NP. Vậy MNP đều
b.
Xét APQ và BQM:
AQ = BQ [gt]
\[\widehat A = \widehat B = {90^0}\]
AP = BM [gt]
Do đó: APQ = BQM [c.g.c] PQ = QM [1]
Xét BQM và CMN:
BM = CM [gt]
\[\widehat B = \widehat C = {90^0}\]
BQ = CN [gt]
Do đó: BQM = CMN [c.g.c] QM = MN [2]
Xét CMN và DNP:
CN = DN [gt]
\[\widehat C = \widehat D = {90^0}\]
CM = DP [gt]
Do đó: CMN = DNP [c.g.c] MN = NP [3]
Từ [1], [2] và [3] uy ra: MN = NP = PQ = QM
nên tứ giác MNPQ là hình thoi
Vì AP = AQ nên APQ vuông cân tại A
BQ = BM nên BMQ vuông cân tại B
\[ \Rightarrow \widehat {AQP} = \widehat {BQM} = {45^0}\]
\[\widehat {AQP} + \widehat {PQM} + \widehat {BQM} = {180^0}\] [kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {PQM} = {180^0} - \left[ {\widehat {AQP} + \widehat {BQM}} \right]\]
\[= {180^0} - \left[ {{{45}^0} + {{45}^0}} \right] = {90^0}\]
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.
c.
Xét ABC và BCD:
AB = BC [gt]
\[\widehat B = \widehat C\] [gt]
BC = CD [gt]
Do đó: ABC = BCD [c.g.c]
AC = BD [1]
Xét BCD và CDE:
BC = CD [gt]
\[\widehat C = \widehat D\] [gt]
CD = DE [gt]
Do đó: BCD = CDE [c.g.c] BD = CE [2]
Xét CDE và DEA:
CD = DE [gt]
\[\widehat D = \widehat E\] [gt]
DE = EA [gt]
Do đó: CDE = DEA [c.g.c] CE = DA [3]
Xét DEA và EAB:
DE = EA [gt]
\[\widehat E = \widehat A\] [gt]
EA = AB [gt]
Do đó: DEA = EAB [c.g.c] DA = EB [4]
Từ [1], [2], [3], [4] uy ra: AC = BD = CE = DA = EB
Trong ABC ta có RM là đường trung bình
RM = \[{1 \over 2}\]AC [tính chất đường trung bình của tam giác]
Mặt khác, ta có: Trong BCD ta có MN là đường trung bình
MN = \[{1 \over 2}\]BD [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong CDE ta có NP là đường trung bình
NP = \[{1 \over 2}\]CE [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong 9DEA ta có PQ là đường trung bình
PQ = \{1 \over 2}\]DA [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong EAB ta có QR là đường trung bình
QR = \[{1 \over 2}\]EB [tính chất đường trung bình của tam giác]
uy ra: MN = NP = PQ = QR = RM
Ta có: \[\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E = {{\left[ {5 - 2} \right]{{.180}^0}} \over 5} = {108^0}\]
DPN cân tại D
\[ \Rightarrow \widehat {DPN} = \widehat {DNP} = {{{{180}^0} - \widehat D} \over 2} = {{{{180}^0} - {{108}^0}} \over 2} = {36^0}\]
CNM cân tại C
\[ \Rightarrow \widehat {CNM} = \widehat {CMN} = {{{{180}^0} - \widehat C} \over 2} = {{{{180}^0} - {{108}^0}} \over 2} = {36^0}\]
\[\widehat {ADN} + \widehat {PNM} + \widehat {CNM} = {180^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat {PNM} = {180^0} - \left[ {\widehat {ADN} + \widehat {CNM}} \right]\]
\[= {180^0} - \left[ {{{36}^0} + {{36}^0}} \right] = {108^0}\]
BMR cân tại B
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {BMR} = \widehat {BRM} = {{180^\circ - \widehat B} \over 2} = {{180^\circ - 108^\circ } \over 2} = 36^\circ \cr & \widehat {CMN} + \widehat {NMR} + \widehat {BMR} = 180^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {NMR} \cr &= 180^\circ - \left[ {\widehat {CMN} + \widehat {BMR}} \right] \cr & = 180^\circ - \left[ {36^\circ + 36^\circ } \right] = 108^\circ \cr} \]
ARQ cân tại A
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ARQ} = \widehat {AQR} = {{180^\circ - \widehat A} \over 2} = {{180^\circ - 108^\circ } \over 2} = 36^\circ \cr & \widehat {BRM} + \widehat {MRQ} + \widehat {ARQ} = 180^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {MRQ} = 180^\circ - \left[ {\widehat {BRM} + \widehat {ARQ}} \right] \cr &= 180^\circ - \left[ {36^\circ + 36^\circ } \right] = 108^\circ \cr} \]
QEP cân tại E
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {EQP} = \widehat {EPQ} = {{180^\circ - \widehat E} \over 2} = {{180^\circ - 108^\circ } \over 2} = 36^\circ \cr & \widehat {AQR} + \widehat {RQP} + \widehat {EQP} = 180^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {RQP} = 180^\circ - \left[ {\widehat {AQR} + \widehat {EQP}} \right] \cr &= 180^\circ - \left[ {36^\circ + 36^\circ } \right] = 108^\circ \cr & \widehat {EPQ} + \widehat {QPN} + \widehat {DPN} = 180^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {QPN} = 180^\circ - \left[ {\widehat {EPQ} + \widehat {DPN}} \right] \cr & = 180^\circ - \left[ {36^\circ + 36^\circ } \right] = 108^\circ \cr} \]
uy ra : \[\widehat {PNM} = \widehat {NMR} = \widehat {MRQ} = \widehat {RQP} = \widehat {QPN}\]
Vậy MNPQR là ngũ giác đều.
Câu 1.3 trang 157 sách bài tập [BT] Toán 8 tập 1
Cho hình vuông ABCD có AB = 3cm
Trên tia đối của tia BA lấy điểm K ao cho BK = 1cm
Trên tia đối của tia CB lấy điểm L ao cho CL = 1cm
Trên tia đối của tia DC lấy điểm M ao cho MD = 1cm
Trên tia đối của tia AD lấy điểm N ao cho NA = 1cm
Chứng minh KLMN là hình vuông
Giải:
Xét ANK và BKL :
AN = BK [gt]
\[\widehat A = \widehat B = 90^\circ \]
AK = BL [vì AB = BC, BK = CL]
Do đó ANK = BKL [c.g.c]
NK = KL [1]
Xét BKL và CLM:
BK = CL [gt]
\[\widehat B = \widehat C = 90^\circ \]
BL = CM [vì BC = CD, CL = DM]
Do đó: BKL = CLM [c.g.c]
KL = LM [2]
Xét CLM và DMN :
CL = DM [gt]
\[\widehat C = \widehat D = 90^\circ \]
CM = DN [vì CD = DA, DM = AN]
Do đó: CLM = DMN [c.g.c]
LM = MN [3]
Từ [1], [2] và [3] NK = KL = LM = MN
Tứ giác MNKL là hình thoi
ANK = BKL \[ \Rightarrow \widehat {ANK} = \widehat {BKL}\]
Trong tam giác ANK có \[\widehat A = 1v \Rightarrow \widehat {ANK} + \widehat {AKN} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {BKL} + \widehat {AKN} = 90^\circ \]hay \[\widehat {NKL} = 90^\circ \]
Vậy tứ giác MNKL là hình vuông.