Bài 13 trang 198 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] : \[[x - 1] + {[y - 2]^2} = 4\] và hai điểm A[1 ; 4], . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn [C] tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.36]
Đường tròn [C] có tâm I[1 ; 2] và có bán kính R = 2.
Ta có \[{x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\]
Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.
Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {4 - 2} \right]}^2}} = 2 = R\]
\[IB = \sqrt {{{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {{1 \over 2} - 2} \right]}^2}} = {3 \over 2} < R.\]
Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.
Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.
Ta có:
\[{{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.\]
Suy ra \[{S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}\]
\[ = {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN\]
\[ = {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.\]
\[{S_{AMN}}\] lớn nhất \[ \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\]
\[\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d[I,MN] = \sqrt 2 \]
Phương trình đường thẳng MN là :
\[y - {1 \over 2} = k[x - 1] \Leftrightarrow 2kx - 2y + [1 - 2k] = 0.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& d[I,MN] = \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8[{k^2} + 1]} \Leftrightarrow k = \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.\]
Vậy phương trình đường thẳng d là : \[y = \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left[ {x - 1} \right] + {1 \over 2}\].
Bài 14 trang 198 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là [1 ; -5] và [6 ; 2], phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.37]
Đặt A[1 ; -5], C[6 ; 2] và BD có phương trình:
5x + 7y - 7 = 0.
Đặt \[{x_B} = 7t\] ta có \[{y_B} = 1 - 5t.\]
VậyB[7t;1 - 5t].
Suy ra: \[\overrightarrow {BA} = \left[ {1 - 7t; - 6 + 5t} \right]\]
\[\overrightarrow {BC} = [6 - 7t;1 + 5t].\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {1 - 7t} \right]\left[ {6 - 7t} \right] + \left[ {1 + 5t} \right]\left[ { - 6 + 5t} \right] = 0 \cr} \]
\[\Leftrightarrow 74{t^2} - 74t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy B[0 ; 1]; D[7 ; -4] hoặc B[7 ; -4]; D[0 ; 1].
Bài 15 trang 198 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB: 3x + 5y - 33 = 0;đường cao AH: 7x + y - 13 = 0;trung tuyến BM: x + 6y - 24 = 0 [M là trung điểm của AC]. Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.38]
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,[AB] \hfill \cr
7x + y - 13 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,[AH]. \hfill \cr} \right.\]
Vậy A[1 ; 6]
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,[AB] \hfill \cr
x + 6y - 24 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,[BM] \hfill \cr} \right.\]
Vậy B[6 ; 3].
Đặt C[x;y]ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ \[M\left[ {{{x + 1} \over 2};{{y + 6} \over 2}} \right].\]
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = \left[ {x - 6;y - 3} \right]\]
\[{\overrightarrow u _{AH}} = [1; - 7]\]
Ta có: \[\left\{ \matrix{
M \in BM \hfill \cr
\overrightarrow {BC} .{\overrightarrow u _{AH}} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
\left[ {{{x + 1} \over 2}} \right] + 6\left[ {{{y + 6} \over 2}} \right] \hfill \cr
x - 6 - 7[y - 3] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 6y - 11 = 0 \hfill \cr
x - 7y + 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 2. \hfill \cr} \right.\]
Vậy C[-1 ; 2].
Phương trình cạnhBC: x - 7y + 15 = 0
Phương trình cạnhAC: 2x - y + 4 = 0.