Bài 19 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 19. Tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {45^0},\,b = 4\]. Tính hai cạnh \[a\] và \[c\].
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[\widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {60^0} - {45^0} = {75^0}\]
Áp dụng định lí sin ta có
\[\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}} \cr
& {a \over {\sin {{60}^0}}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,a = 4.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 2 = 2\sqrt 6 \cr
& {c \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in7}}{{\rm{5}}^0}}} = {4 \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,c \approx \,5,5 \cr} \]
Bài 20 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 20. Cho tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = {60^0},\,a = 6\]. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[{a \over {\sin A}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = {a \over {2\sin A}} = {6 \over {2.\sin {{60}^0}}} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \, \approx 3,5\]
Bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 21. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \[ABC\] thỏa mãn hệ thức \[\sin A = 2\sin B.\cos C\]thì \[ABC\] là tam giác cân.
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng định lí sin và cosin ta có
\[\sin A = {a \over {2R}},\,\,\sin B = {b \over {2R}},\,\,\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\]
Do đó \[\sin A = 2\sin B\cos C\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{a \over {2R}} = 2.{b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\,\,\,\]
\[ \Leftrightarrow \,\,{a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,b^2 = c^2\, \Leftrightarrow \,\,b=c\]
Vậy \[ABC\] là tam giác cân.
Bài 22 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 22. Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí \[C\] trên biển và hai người ở các vị trí quan sát \[A\] và \[B\] cách nhau \[500m\]. Họ đo được góc \[CAB\] bằng \[{87^0}\]và góc \[CBA\] bằng \[{62^0}\].
Tính các khoảng cách \[AC\] và \[BC\].
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[\widehat {ACB} = {180^0} - {87^0} - {62^0} = {31^0}\]
Áp dụng định lí sin ta có
\[{a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = {{500} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{1}}^0}}} \approx 971\]
\[ \Rightarrow \,\,BC = a = 971.\sin {87^0} \approx 969\] m và \[\,AC = b = 971.\sin {62^0} \approx 857\] m.