Bài 23 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho phương trình
\[[m + 1]{x^2} + [3m - 1]x + 2m - 2 = 0\]
Xác định m để phương trình có hai nghiệm\[x{}_1,{x_2}\] mà \[x{}_1 + {x_2} = 3\]
Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Gợi ý làm bài
Với$$m \ne - 1$$ ta có:\[\Delta = {[m - 3]^2} \ge 0\], do đóphương trình luôn luôn có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\]
Xét\[{x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {{1 - 3m} \over {m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = - {1 \over 3}\]
Lúc đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x = 4.
Bài 24 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải các phương trình
a] \[\sqrt {5x + 3} = 3x - 7\]
b]\[\sqrt {3{x^2} - 2x - 1} = 3x + 1\]
c]\[{{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 \]
d]\[\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = \sqrt {7x + 2} \]
Gợi ý làm bài
a] Điều kiện của phương trình là\[x \ge - {3 \over 5}\]. Ta có
\[\sqrt {5x + 3} = 3x - 7 = > 5x + 3 = {[3x - 7]^2}\]
\[ \Leftrightarrow 9{x^2} - 47x + 46 = 0\]
Phương trình cuối có hai nghiệm\[{x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}},{x_2} = {{47 - \sqrt {553} } \over {18}}\]
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, tuy nhiên khi thay vào phương trình đã cho thì giá trị \[{x_2}\] bị loại.
Đáp số:\[{x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}}\]
b] Điều kiện của phương trình là\[3{x^2} - 2x - 1 \ge 0\]. Ta có:
\[\sqrt {3{x^2} - 2x - 1} = 3x + 1 = > 3{x^2} - 2x - 1 = {[3x + 1]^2}\]
\[ \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 2 = 0\]
Phương trình cuối có hai nghiệm \[{x_1} = - {1 \over 3},{x_2} = - 1\]
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, nhưng thử vào phương trình đã cho thì giá trị \[{x_2} = - 1\] bị loại.
Đáp số: \[x = - {1 \over 3}\]
c]Điều kiện của phương trình là \[4{x^2} + 7x - 2 \ge 0\] và \[x \ne - 2\]. Ta có:
\[{{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 = > 4{x^2} + 7x - 2 = 2{[x + 2]^2}\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 10 = 0\]
Phương trình cuối có hai nghiệm là \[{x_1} = {5 \over 2},{x_2} = - 2\]
Chỉ có giá trị\[{x_1} = {5 \over 2},{x_2} = - 2\]
Chỉ có giá trị\[{x_1} = {5 \over 2}\] thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Đáp số:\[x = {5 \over 2}\]
d]Điều kiện của phương trình là\[2{x^2} + 3x - 4 \ge 0\] và\[7x + 2 \ge 0\]. Ta có:
\[\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = \sqrt {7x + 2} = > 2{x^2} + 3x - 4 = 7x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0\]
Phương trình cuối có hai nghiệm\[{x_1} = 3,{x_2} = - 1\],nhưng giá trị \[{x_2} = - 1\] không thỏa mãn điều kiện của phương tình nên bị loại, giá trị\[{x_1} = 3\] nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đa cho là x = 3.
Bài 25 trang 77 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.
a]\[|2x - 5m| = 2x - 3m\]
b] \[|3x + 4m| = |4x - 7m|\]
c]$\[[m + 1]{x^2} + [2m - 3]x + m + 2 = 0\]
d]\[{{{x^2} - [m + 1]x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m\]
Gợi ý làm bài
a] Với\[x \ge {{5m} \over 2}\] phương trình đã cho trở thành
\[2x - 5m = 2x - 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\]
Vậy với m = 0 thì mọi\[x \ge 0\] đều là nghiệm của phương trình.
Với\[x < {{5m} \over 2}\] phương trình đã cho trở thành
\[ - 2x + 5m = 2x - 3m\]
\[ \Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m\]
Vì$\[x < {{5m} \over 2}\] nên\[2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0\].
Kết luận:
Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.
Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.
Với m < 0 phương trình vô nghiệm.
b] Ta có:
\[\eqalign{
& |3x + 4m| = |4x - 7m| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x + 4m = 4x - 7m \hfill \cr
3x + 4m = - 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11m \hfill \cr
x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và$\[x = {{3m} \over 7}\] với mọi giá trị của m.
c] Với m = -1 phương trình đã cho trở thành
\[ - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$\]
Với \[m \ne - 1\] phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức\[\Delta = - 24m + 1.\]
Nếu\[m \le {1 \over {24}}\] thì \[\Delta \ge 0\] phương trình có hai nghiệm
\[{x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2[m + 1]}}\]
Kết luận:
Với\[x > {1 \over {24}}\] phương trình vô nghiệm.
Với\[x \le {1 \over {24}}\] và\[m \ne - 1\] phương trình có hai nghiệm.
\[{x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2[m + 1]}}\]
Với m = -1phương trình có nghiệm là\[x = {1 \over 5}\]
d] Điều kiện của phương trình là:\[x \ne 3.\] Ta có:
\[{{{x^2} - [m + 1]x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m = > {x^2} - [m + 1]x - {{21} \over 4} = [x - 3][2x + m]\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + [2m - 5]x + {{21} \over 4} - 3m = 0\]
Phương trình cuối luôn có nghiệm\[{x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 - 4m} \over 2}\]
Ta có: \[{{7 - 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}\]
Kết luận
Với \[m \ne {1 \over 4}\] phương trình đã cho có hai nghiệm và\[x = {3 \over 2}\] và\[x = {{7 - 4m} \over 2}\]
Với \[m = {1 \over 4}\] phương trình có một nghiệm\[x = {3 \over 2}\]
Bài 26 trang 78 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải phương trình
\[\root 3 \of {{1 \over 2} + x} + \sqrt {{1 \over 2} - x} = 1\]
Gợi ý làm bài
Đặt \[u = \root 3 \of {{1 \over 2} + x} ,v = \sqrt {{1 \over 2} - x} \] điều kiện \[v \ge 0\]
Ta được hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr
{u^3} + {v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
v = 1 - u[1] \hfill \cr
{u^3} + {v^2} - 2u = 0[2] \hfill \cr} \right.\]
[2] \[ \Leftrightarrow u[{u^2} + u - 2] = 0\]
Phương trình cuối có 3 nghiệm \[{u_1} = 0,{u_2} = 1,{u_3} = 2\]
+Với u = 0 ta có v = 1 => \[x = - {1 \over 2}\]
+Với u =1 ta có v = 0 => \[x = {1 \over 2}\]
+Với u = -2 ta có v = 3 =>\[x = - {{17} \over 2}\]
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
\[x = - {1 \over 2}\],\[x = {1 \over 2}\] và\[x = - {{17} \over 2}\]