Giải bài 24, 25, 26 trang 54 sách bài tập toán 9 tập 2 - Câu trang Sách bài tập (SBT) Toán tập

\(\eqalign{& \Delta = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.m.2 \cr& = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 8m \cr& = 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) \cr& \Delta = 0 \Rightarrow 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \cr& \Delta m = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 \cr& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr& {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr& {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \)

Câu 24 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a)\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

b)\(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Giải

a)\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

Phương trình có nghiệm số kép

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ne 0} \cr
{\Delta = 0} \cr} } \right.\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.m.2 \cr
& = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 8m \cr
& = 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) \cr
& \Delta = 0 \Rightarrow 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \cr
& \Delta m = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr
& {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \)

Vậy với \(m = 2 + \sqrt 3 \)hoặc \(m = 2 - \sqrt 3 \)thì phương trình đã cho có nghiệm số kép.

b)\(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Phương trình có nghiệm số kép\(\Leftrightarrow \Delta = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.4 = {m^2} + 2m + 1 - 48 = {m^2} + 2m - 47 \cr
& \Delta = 0 \Rightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \cr
& \Delta m = {2^2} - 4.1\left( { - 47} \right) = 4 + 188 = 192 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \cr
& {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3 \cr} \)

Vậy với \(m = 4\sqrt 3 - 1\)hoặc \(m = - 1 - 4\sqrt 3 \)thì phương trình có nghiệm số kép.


Câu 25 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m:

a) \(m{x^2} + \left( {2x - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)

Giải

a)\(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

Nếu m = 0 ta có phương trình:\(- x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Nếu m 0 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi\(\Delta \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \cr
& = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 8m \cr
& = - 12m + 1 \cr
& \Delta \ge 0 \Rightarrow - 12m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le {1 \over {12}} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {1 - 12m} \cr
& {x_1} = {{ - \left( {2m - 1} \right) + \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m + \sqrt {1 - 12m} } \over {2m}} \cr
& {x_2} = {{ - \left( {2m - 1} \right) - \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m - \sqrt {1 - 12m} } \over {2 + }} \cr} \)

b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi\(\Delta \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - \left( {4m + 3} \right)} \right]^2} - 4.2\left( {2{m^2} - 1} \right) \cr
& = 16{m^2} + 24m + 9 - 16{m^2} + 8 \cr
& = 24m + 17 \cr
& \Delta \ge 0 \Rightarrow 24m + 17 \ge 0 \Leftrightarrow m > - {{17} \over {24}} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr
& {x_1} = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{4m + 3 - \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr} \)


Câu 26 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Vì sao khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng. Không tính , hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a)\(3{x^2} - x - 8 = 0\)

b)\(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\)

c)\(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\)

d)\(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)

Giải

Phương trình\(a{x^2} + bx + c = 0\)

a và c trái dấu \(\Rightarrow ac < 0\)suy ra\(- ac > 0 \Rightarrow - 4ac > 0\)

\(\Delta = {b^2} - 4ac\)ta có \({b^2} \ge 0\);\(- 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\)

\(\Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a)\(3{x^2} - x - 8 = 0\)

Có a = 3; c = -8 ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b)\(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\)

Có a = 2004; c = \(- 1185\sqrt 5 \) ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c)\(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\)

Có \(a = 3\sqrt 2 > 0;c = \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0\)(vì \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \))

ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d)\(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)

Nếu m = 0 phương trình có dạng có 2 nghiệm

Nếu\(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow - {m^2} < 0\)

\(a = 2010 > 0;c = - {m^2} < 0 \Rightarrow ac < 0.\)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi m R thì phương trình \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)luôn có hai nghiệm phân biệt.