Bài 2.52 trang 87 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm thuộc miền trong các tam giác SAB, SBC, SCD. Xác định thiết diện do mặt phẳng [EFG] cắt hình chóp.
Giải:
[h.2.78] Gọi \[E' = SE \cap AB,F' = SF \cap BC,G' = SG \cap C{\rm{D}}\]. Trong mặt phẳng [SEF], gọi \[I = EF \cap E'F',K = FG \cap F'G'\]. Ta có: \[IK = \left[ {EFG} \right] \cap \left[ {ABCD} \right]\]. Gọi \[I' = AB \cap IK,K' = C{\rm{D}} \cap IK\]. Gọi \[M = SA \cap I'E,N = SB \cap I'E\]và \[P = SC \cap K'G,Q = S{\rm{D}} \cap K'G\]
Thiết diện tạo bởi mp [EFG] cắt hình chóp là tứ giác MNPQ.
Chú ý: Vị trí thiết diện có thể thay đổi tùy theo vị trí của E, G, F.
Bài 2.53 trang 87 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Gọi R, N, Q là các điểm thuộc các cạnh AD, BC, CD.
a] Tìm giao điểm I và Kcủa đường thẳng RQvới các mặt phẳng [AABB], [BB, CC].
b] Tìm giao điểm P và Jcủa đường thẳng NKvới các mặt phẳng [CCDD], [AABB].
c] Tìm giao điểm S và Mcủa đường thẳng IJvới các mặt phẳng [ADDA], [ABCD].
d] Tìm giao tuyến của mặt phẳng [NQR] với các mặt của hình lập phương.
d] Tìm thiết diện của mặt phẳng [NQR] với hình lập phương.
Giải:
[h.2.79] a] Trong mặt phẳng [ABCD], gọi \[I = RQ \cap A'B',K = RQ \cap B'C'\]. Ta có I, K là các điểm cần tìm.
b] Trong mặt phẳng [BBCC], gọi \[P = NK \cap CC',J = NK \cap BB'\]. Ta có P, J là các điểm cần tìm.
c] Trong mặt phẳng [AABB], gọi \[S = IJ \cap AA',M = IJ \cap AB\]. Ta có S, M là các điểm cần tìm.
d] Như vậy giao tuyến của [NQR] với các mặt \[\left[ {ABC{\rm{D}}} \right],\left[ {BB'C'C} \right],\left[ {CC'D'D} \right],\left[ {A'B'C'D'} \right],\left[ {AA'D'D} \right],\left[ {AA'B'B} \right]\]lần lượt là \[MN,NP,PQ,Q{\rm{R}},R{\rm{S}},SM\].
e] Ta có thiết diện cần tìm là lục giác MNPQRS.
Bài 2.54 trang 87 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gợi N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CC, CD. Tìm diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng [NPQ] cắt hình lập phương.
Giải:
[h.2.80] Xác định thiết diện:
Trong mặt phẳng [DDCC], gọi \[{C_1} = PQ \cap C{\rm{D, }}{{\rm{D}}_1} = PQ \cap DD'\]
Trong mặt phẳng [ABCD], gọi \[M = {C_1}N \cap AB,{A_1} = {C_1}N \cap A{\rm{D}}\]
Trong mặt phẳng [DDAA], gọi \[R = {D_1}{A_1} \cap A'{\rm{D', S = }}{D_1}{A_1} \cap AA'\]
Ta có thiết diện cần tìm là lục giác MNPQRS
+Tính diện tích thiết diện :
Các đỉnh của hình lục giác là trung điểm các cạnh của hình lập phương nên chúng bằng nhau và mỗi cạnh của lục giác bằng nửa đường chéo của hình vuông có cạnh bằng a.
Ta có: \[MN = NP = PQ = Q{\rm{R}} = R{\rm{S}} = SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Ngoài ra \[\Delta {D_1}RQ = \Delta S{A_1}M = \Delta PN{C_1}\][ chúng là những tam giác đều ]
Suy ra: \[\widehat {SRQ} = \widehat {RQP} = \widehat {QPN} = \widehat {PNM} = \widehat {NMS} = \widehat {MSR} = {120^0}\]
Khi đó , ta có lục giác MNPQRSlà lục giác đều.
\[{S_{MNPQRS}} = {S_{{A_1}{C_1}{D_1}}} - 3{S_{{D_1}RQ}} = {{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\].