Bài 2.62 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC\[\widehat {BAC} = {60^ \circ }\], AB = 4 và AC = 6.
a] Tính tích vô hướng\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \],độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b] Lấy các điểm M, N định bởi:\[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 [x \ne - 1]\]. Định xđể AN vuông góc với BM.
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A \cr
& = 4.6.\left[ {{1 \over 2}} \right] = 12 \cr} \]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} [\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ] \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} = 12 - 16 = - 4 \cr
& B{C^2} = {[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ]^2} \cr
& = A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2} \cr
& = 36 - 2.12 + 16 = 28 \cr
& \Rightarrow BC = 2\sqrt {7.} \cr} \]
\[R = {{BC} \over {2\sin A}} = {{2\sqrt 7 } \over {2.{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}.\]
b]
\[\eqalign{
& 2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} ] = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cr} \]
và \[\eqalign{
& \overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} ] = \overrightarrow 0 \cr} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AN} = {1 \over {x + 1}}[\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} ].\]
ANvuông góc với BM: \[\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right][3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ] = 0 \cr
& \Leftrightarrow [3 - x]\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {3 - x} \right].12 - 16 + 3x.36 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = - {5 \over {24}} \cr} \]
Bài 2.63 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC cóa = 12, b = 16, c = 20.
a]Tính diện tích S và chiều cao\[{h_a}\] của tam giác;
b]Tính độ dài đường trung tuyến\[{m_a}\] của tam giác;
c]Tính bán kính R và rcủa các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
Gợi ý làm bài
a] Theo công thức Hê rông với\[p = {1 \over 2}[12 + 16 + 20] = 24\]
Ta có:\[S = \sqrt {24\left[ {24 - 12} \right]\left[ {24 - 16} \right]\left[ {24 - 20} \right]} = 96\]
\[{h_a} = {{2S} \over a} = {{2.96} \over {12}} = 16\]
b] \[\eqalign{
& m_a^2 = {{2[{b^2} + {c^2}] - {a^2}} \over 4} \cr
& = {{2\left[ {{{16}^2} + {{20}^2}} \right] - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr} \]
\[{m_a} = \sqrt {292} \approx 17,09\]
c] \[\eqalign{
& R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10; \cr
& r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4 \cr} \]
Bài 2.64 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đẳng AB trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc\[\widehat {BPA} = {35^o}\] và \[\widehat {BQA} = {48^ô}\]
a]Tính BQ;
b]Tính chiều cao của tháp.
Gợi ý làm bài
a] [Xem hình 2.34]
Ta có:\[\widehat {PBQ} = {48^ \circ } - {35^ \circ } = {13^ \circ }\]
Trong tam giác BPQ ta có:
\[{{BQ} \over {\sin P}} = {{PQ} \over {\sin B}} \Leftrightarrow {{BQ} \over {\sin {{35}^ \circ }}} = {{300} \over {\sin {{13}^ \circ }}}\]
Do đó:\[BQ = {{300.\sin {{35}^ \circ }} \over {\sin {{13}^ \circ }}} \approx 764,935[m]\]
b] Chiều cao của tháp là
\[\eqalign{
& AB = BQ\sin {48^ \circ } \cr
& \approx 764,935.\sin {48^ \circ } \approx 568,457[m] \cr} \]