Bài 3.22 trang 152 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng \[AC \bot B'D',AB' \bot C{\rm{D}}'\]và \[A{\rm{D}}' \bot CB'\]. Khi mặt phẳng [AACC] vuông góc với mặt phẳng [BBDD]?
Giải:
Theo giả thiết các mặt của hình hộp đều là hình thoi.
Ta có ABCDlà hình thoi nên \[AC \bot B{\rm{D}}\]
Theo tính chất của hình hộp: \[B{\rm{D}}\parallel B'D'\],do đó \[AC \bot B'{\rm{D'}}\].
Chứng minh tương tự ta được \[AB' \bot C{\rm{D', AD}}' \bot CB'\]
Hai mặt phẳng [AACC] và [BBDD] vuông góc với nhau khi hình hộp ABCD.ABCDlà hình lập phương.
Bài 3.23 trang 152 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCDcó ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB = CD, AC = BD và AD = BC. Gọi M và Nlần lượt là trung điểm của ABvà CD. Chứng minh \[MN \bot AB\]và \[MN \bot C{\rm{D}}\]. Mặt phẳng [CDM] có vuông góc với mặt phẳng [ABN] không? Vì sao?
Giải:
Hai tam giác ABCvà BADbằng nhau [ c.c.c] nên có các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau: CM = DM
Ta có tam giác MCD cân tại M, do đó \[MN \bot C{\rm{D}}\]vì Nlà trung điểm của CD. Tương tự ta chứng minh được NA = NB và suy ra \[MN \bot AB\]. Mặt phẳng [CDM] không vuông góc với mặt phẳng [ABN] vì [CDM] chứa MNvuông góc với chỉ một đường thẳng AB thuộc [ABN] mà thôi.
Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCDcó \[AB \bot C{\rm{D}}\]và \[AC \bot B{\rm{D}}\]thì \[AD \bot BC\].
Giải:
Vẽ \[AH \bot \left[ {BC{\rm{D}}} \right]\]tại H, ta có \[C{\rm{D}} \bot AH\]và vì \[C{\rm{D}} \bot AB\]ta suy ra \[C{\rm{D}} \bot BH\]. Tương tự vì \[{\rm{BD}} \bot AC\]ta suy ra \[{\rm{BD}} \bot CH\]
Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là \[DH \bot BC\]
Vì \[AH \bot BC\]nên ta suy ra \[BC \bot A{\rm{D}}\]
Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức:
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC} = 0\]với bốn điểm A, B, C, D bất kì.
Thực vậy , ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{\rm{AD}}} - \overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{\rm{AD}}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr
& \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} .\left[ {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AD}}} } \right] = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {{\rm{AD}}} \,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr
& \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \cr} \]
\[\left[ 1 \right] + \left[ 2 \right] + \left[ 3 \right] \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\,\,\,\,\,\,\left[ 4 \right]\]
Do đó nếu \[AB \bot CD\]nghĩa là \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\,\,\], \[AC \bot BD\]nghĩa là \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B{\rm{D}}} = 0\,\,\]
Từ hệ thức [4]ta suy ra \[\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\,\,\], do đó \[A{\rm{D}} \bot BC\].
Bài 3.25 trang 152 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tam giác ABCvuông tại B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Chứng minh rằng mặt phẳng [ABD] vuông góc với mặt phẳng [BCD].
Từ điểm Atrong mặt phẳng [ABD] ta vẽ AHvuông góc với BD, chứng minh rằng AHvuông góc với mặt phẳng [BCD].
Giải:
Vì \[A{\rm{D}} \bot \left[ {ABC} \right]\]nên \[A{\rm{D}} \bot BC\]
Ngoài ra \[BC \bot AB\]nên ta có \[BC \bot \left[ {ABD} \right]\]
Vì mặt phẳng [BCD]chứa BC mà \[BC \bot \left[ {ABD} \right]\]nên ta suy ra mặt phẳng [BCD]vuông góc với mặt phẳng [ABD].
Hai mặt phẳng [BCD] và [ABD] vuông góc với nhau và có giao tuyến là BD. Đường thẳng AHthuộc mặt phẳng [ABD]và vuông góc với giao tuyến BDnên AHvuông góc với mặt phẳng [BCD].