Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Cho elip [E] :\[9{x^2} + 25{y^2} = 225\]
a] Tìm tọa độ hai điểm\[{F_1}\],\[{F_2}\] và các đỉnh của [E].
b] Tìm\[M \in [E]\] sao cho M nhìn\[{F_1}\],\[{F_2}\] dưới một góc vuông.
Gợi ý làm bài
[E]:\[9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\]
a] Ta có :\[{a^2} = 25,{b^2} = 9\]
\[\Rightarrow a = 5,b = 3\]
Ta có :\[{c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\]
\[ \Rightarrow c = 4\]
Vậy [E] có hai tiêu điểm là :\[{F_1}\left[ { - 4;0} \right]\] và\[{F_2}\left[ {4;0} \right]\] và có bốn đỉnh là\[{A_1}\left[ { - 5;0} \right]\],\[{A_2}\left[ {5;0} \right]\],\[{B_1}\left[ {0; - 3} \right]\],\[{B_2}\left[ {0;3} \right]\].
b] Gọi M[x;y] là điểm cần tìm, ta có :
\[\left\{ \matrix{
M \in [E] \hfill \cr
\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
M \in [E] \hfill \cr
O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{
9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.\]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \pm {{5\sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr
y = \pm {9 \over 4}. \hfill \cr} \right.\]
Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là :
\[\left[ {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right]\],\[\left[ {{{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right]\],\[\left[ { - {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right]\],\[\left[ { - {{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right]\]
Bài 3.35 trang 160 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Cho elip [E]:\[{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left[ {0 < b < a} \right]\].Tính tỉ số:\[{c \over a}\] trong các trường hợp sau:
a] Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;
b] Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;
c] Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
Gợi ý làm bài
a] Ta có :\[a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\]
\[ \Rightarrow {a^2} = 9\left[ {{a^2} - {c^2}} \right]\]
\[ \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\]
\[ \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\]
Vậy\[{c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\]
b]\[\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\]
\[ \Rightarrow b = c\]
\[ \Rightarrow {b^2} = {c^2}\]
\[ \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\]
\[\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\]
\[ \Rightarrow a = c\sqrt 2 \]
Vậy\[{c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}\]
c]\[{A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\]
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\]
\[ \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\]
\[\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\]
\[\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\]
Vậy\[{c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}} \]
Bài 3.36 trang 160 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Cho elip [E] :\[4{x^2} + 9{y^2} = 36\] và điểm M[1;1]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt [E] tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
Gợi ý làm bài
[E]:\[4{x^2} + 9{y^2} = 36\,[1]\]
Xét đường thẳng d đi qua điểm M[1;1] và có hệ số góc k. Ta có phương trình của
d:y - 1 = k[x - 1] hayy = k[x - 1] + 1 [2]
Thay [2] vào [1] ta được
\[4x + 9{\left[ {k[x - 1] + 1} \right]^2} = 36\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {9{k^2} + 4} \right]{x^2} + 18k\left[ {1 - k} \right]x + 9{\left[ {1 - k} \right]^2} - 36 = 0\,[3]\]
Ta có : d cắt [E] tại hai điểm A, B thỏa mãn
MA = MB khi và chỉ khi phương trình [3] có hai nghiệm\[{x_A}\],\[{x_B}\] sao cho:
\[{{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {x_M} \Leftrightarrow {{ - 18k[1 - k]} \over {2[9{k^2} + 4]}} = 1\]
\[ \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8 \Leftrightarrow k = - {4 \over 9}\]
Vậy phương trình của d là :
\[y = - {4 \over 9}\left[ {x - 1} \right] + 1\] hay4x + 9y - 13 = 0.