Bài 5 trang 27 sgk hình học lớp 10
Trong các mặt phẳng \[Oxy\] cho điểm \[[x_0;y_0]\]
a] Tìm tọa độ điểm \[A\] đối xứng với \[M\] qua trục \[Ox\];
b] Tìm tọa độ điểm \[B\] đối xứng với \[M\] qua trục \[Oy\];
c] Tìm tọa độ điểm \[C\] đối xứng với \[M\] qua gốc \[O\].
Giải
a] Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.
\[{M}[{x_0};{y_0}] \Rightarrow {A}[{x_0}; - {y_0}]\]
b] Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau.
\[{M}[{x_0};{y_0}] \Rightarrow {B}[ - {x_0};{y_0}]\]
c] Hai điểm đối xứng nhau qua gốc \[O\] thì các tọa độ tương ứng đối nhau.
\[M[{x_0};{y_0}] \Rightarrow C[ - {x_0}; - {y_0}]\]
Bài 6 trang 27 sgk hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\] có \[A[-1; -2], B[3;2], C[4;-1]\]. Tìm tọa độ điểm \[D.\]
Giải
Tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành nên
\[\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\]
Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của \[D\] thì
\[\overrightarrow{CD} = [x-4; y+1]\]
\[\overrightarrow{BA}= [-4;-4]\]
\[\overrightarrow{CD}\]=\[\overrightarrow{BA}\]\[\left\{\begin{matrix} x-4 = -4\\ y+1 = -4 \end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-5 \end{matrix}\right.\]
Vậy điểm \[D[0;-5]\] là điểm cần tìm.
Bài 7 trang 27 sgk hình học lớp 10
Các điểm \[A'[-4; 1], B'[2;4], C'[2, -2]\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC, CA\] và \[AB\] của tam giác \[ABC\]. Tính tọa độ đỉnh của tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \[ABC\] và \[A'B'C'\] trùng nhau.
Giải
Giả sử \[A[{x_A};{y_A}],B[{x_B};{y_B}],C[{x_C};{y_C}]\]
\[A'\] là trung điểm của cạnh \[BC\] nên \[-4 = \frac{1}{2} [x_B+x_C]\]
\[\Rightarrow {x_B} + {x_C} = - 8\] [1]
Tương tự ta có \[{x_A} + {x_C} = 4\] [2]
\[{x_B} + {x_A} = 4\] [3]
Giải hệ [1], [2] và [3] ta được:
\[\left\{ \matrix{
{x_A} = 8 \hfill \cr
{x_B} = - 4 \hfill \cr
x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Tương tự ta tính được:
\[\left\{ \matrix{
{y_A} = 1 \hfill \cr
{y_B} = - 5 \hfill \cr
y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.\]
Gọi \[G[{x_G};y{}_G]\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]
Khi đó ta có:
$$\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$
Vậy \[G[0;1]\] [*]
Gọi \[G'[{x_{G'}};y{}_{G'}]\] là trong tâm của tam giác \[A'B'C'\]
Khi đó ta có:
$$\left\{ \matrix{
{x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$
Vậy \[G'[0;1]\] [2*]
Từ [*] và [2*] ta thấy \[G\equiv G'\]
Vậy trọng tâm tam giác \[ABC\] và \[A'B'C'\] trùng nhau.
Bài 8 trang 27 sgk hình học lớp 10
Cho\[\overrightarrow{a}= [2; -2]\],\[\overrightarrow{b} = [1; 4]\]. Hãy phân tích vectơ\[\overrightarrow{c} = [5; 0]\] theo hai vectơ \[\overrightarrow{a}\]và\[\overrightarrow{b}\]
Giải
Giả sử ta phân tích được\[\overrightarrow{c}\]theo\[\overrightarrow{a}\]và\[\overrightarrow{b}\]tức là có hai số \[m, n\] để
\[\overrightarrow{c}= m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}\]cho ta\[\overrightarrow{c}= [2m+n; -2m+4n]\]
Vì\[\overrightarrow{c} =[0;5]\] nên ta có hệ:\[\left\{\begin{matrix} 2m+n=5\\ -2m+4n=0 \end{matrix}\right.\]
Giải hệ phương trình ta được \[m = 2, n = 1\]
Vậy\[\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\]