\[{{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\].
Bài 6 trang 90 SGK Giải tích 12
Cho \[{\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\]. Hãy tính \[log_ax\]với:
a] \[x = {a^3}{b^2}\sqrt c \]
b] \[x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\]
Giải
Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:
a]
\[\eqalign{
& lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
& = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr
& = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \].
Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Giải
a]
\[\eqalign{
& {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {[{3 \over 5}]^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \]
b]\[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Đặt \[t = 5^x\] [\[t > 0\]] \[ x = log_5 t\].
Phương trình đã cho trở thành:
\[t^2 6t + 5 = 0 t {\rm{\{ }}1;5\} \]
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 0, x = 1\]
c]\[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
Chia phương trình cho \[16^x\]và đặt \[t = {[{3 \over 4}]^x}[t > 0] \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\]ta được phương trình:
\[4t^2+t 3 = 0 [t+1][4t-3] = 0\]
Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \[t = {3 \over 4}\].
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \[x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\]
d]\[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
Điều kiện: \[x > 1\]
\[\eqalign{
& lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr
& \Leftrightarrow {\log _7}x[{\log _7}[x - 1] - 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr
{\log _7}[x - 1] = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
[x - 1] = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\]
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \[x = 8\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 8\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
Điều kiện : \[x > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
& \Leftrightarrow x = 27 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 27\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 4\]
Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các bất phương trình
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
d] \[{\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\]
Giải
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
Ta có:
\[{2^{2x - 3}}[{2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\]
\[{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\]
\[ x 4,5\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[[4,5; +]\].
b]\[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
Đặt \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho trở thành:
\[\eqalign{
& t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Do \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
Ta có:
\[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1 \]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < {\log _3}3\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr
lo{g_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr
{x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} < 2 \hfill \cr
{x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
|x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|