Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho tam giác \[ABC\] cạnh \[a\]. Tính độ dài của các vectơ\[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\]và\[\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\]
Giải
Ta có\[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\]
\[\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a\]
Ta có:\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}\].
Trên tia \[CB\], ta dựng\[\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\]
Tam giác \[EAC\] vuông tại \[A\] [vì có đường trung tuyến \[AB\] bằng nửa cạnh \[CE\]] có : \[AC = a, CE = 2a\] , suy ra \[AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \]
Vậy\[\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3\]
Bài 6 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho hình bình hành \[ABCD\] có tâm \[O\]. Chứng minh rằng:
a]\[\overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\];
b]\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\];
c]\[\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\];
d]\[\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\].
Giải
a] Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:
\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OB}\] [1]
Mặt khác, \[\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OB}\].
b] Ta có :\[\overrightarrow{DB}= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\] [1]
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\] [2]
Từ [1] và [2] cho ta:
\[\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}\].
c] Ta có :
\[\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BA}\] [1]
\[\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}\] [2]
\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra
\[\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}\] đpcm.
d]\[\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = [\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}] + \overrightarrow{DC}\]
\[= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{0}\] [ vì\[\overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AB}] \].
Bài 7 trang 12 sgk hình học lớp 10
Cho\[\overrightarrow{a}\],\[\overrightarrow{b}\]là hai vectơ khác\[\overrightarrow{0}\]. Khi nào có đẳng thức
a]\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\]+\[\left | \overrightarrow{b} \right |\];
b]\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\].
Giải
a] Ta có\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\]+\[\left | \overrightarrow{b} \right |\]
Nếu coi hình bình hành \[ABCD\] có\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{a}\]và\[\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\]thì\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\]là độ dài đường chéo \[AC\] và\[\left | \overrightarrow{a} \right |= AB\];\[\left | \overrightarrow{b} \right |= BC\].
Ta lại có: \[AC = AB + BC\]
Đẳng thức xảy ra khi điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A, C\].
Vậy\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\]khi hai vectơ\[\overrightarrow{a}\],\[\overrightarrow{b}\]cùng hướng.
b] Tương tự,\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\]là độ dài đường chéo \[AC\]
\[\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\]là độ dài đường chéo \[BD\]
\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | =\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\] \[\Rightarrow AC = BD\].
Hình bình hành \[ABCD\] có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có \[AD \perp AB\] hay\[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\].