Bài 53 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {{x + 1} \over {x - 2}}\]
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm \[A\] của đồ thị với trục tung.
c] Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm \[A\].
Giải
a] TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}\]
Tiệm cận đứng \[x = 2\]; tiệm cận ngang \[y = 1\].
\[y' = {{ - 3} \over {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} < 0\] với mọi \[x \ne 2\]
Điểm đặc biệt: \[A\left[ {0; - {1 \over 2}} \right],\,B\left[ { - 1;0} \right]\]
Đồ thị nhận điểm \[I[2;1]\] làm tâm đối xứng.
b] Giao điểm của đồ thị với trục tung \[A\left[ {0; - {1 \over 2}} \right]\]
\[y'\left[ 0 \right] = - {3 \over 4}\]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \[A\] là:
\[y + {1 \over 2} = - {3 \over 4}\left[ {x - 0} \right] \Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x - {1 \over 2}\]
c] Giả sử \[M\] là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \[A\] ta có:
\[y'\left[ {{x_M}} \right] = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left[ {{x_M} - 2} \right]}^2}}} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left[ {{x_M} - 2} \right]^2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} - 2 = 2 \hfill \cr
{x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} = 4 \hfill \cr
{x_M} = 0\,\,[\text{ loại vì }{x_A} = 0] \hfill \cr} \right.\]
\[y\left[ 4 \right] = {5 \over 2}\].Vậy \[M\left[ {4;{5 \over 2}} \right]\]
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[M\] là: \[y - {5 \over 2} = - {3 \over 4}\left[ {x - 4} \right] \Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}\]
Bài 54 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [H] của hàm số \[y = 1 - {1 \over {x + 1}}\]
b] Từ đồ thị \[[H]\] suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \[y = 1 + {1 \over {x + 1}}\]
Giải
a] \[y = {x \over {x + 1}}\]
TXĐ: \[D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
Tiệm cận đứng \[x = -1\]; tiệm cận ngang \[y = 1\].
\[y' = {1 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} > 0\] với mọi \[x \ne - 1\]
Điểm đặc biệt
\[\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow y = 0 \cr
& x = 1 \Rightarrow y = {1 \over 2} \cr} \]
Đồ thị nhận \[I[-1;1]\] làm tâm đối xứng.
b] Ta có \[y = - 1 + {1 \over {x + 1}} = {{ - x} \over {x + 1}}\]
Do đó đồ thị của hàm số \[y = - 1 + {1 \over {x + 1}}\]là hình đối xứng của \[[H]\] qua trục hoành.
Bài 55 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = x - {2 \over {x - 1}}\]
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \[[3;3]\].
Giải
a] Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y' = 1 + {2 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} > 0,\forall x \in D\]
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[[ - \infty ;1]\] và \[[1; + \infty ]\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \]
Do đó \[x=1\] là tiệm cận đứng.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [y - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ { - {2 \over {x - 1}}} \right] = 0\]
Vậy \[y=x\] là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \[Ox\] tại \[[-1;0],[2;0]\]
Đồ thị giao \[Oy\] tại \[0;2]\]
b] Ta có: \[y' = 1 + {2 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \[M\left[ {{x_o};{y_o}} \right] \in \left[ C \right]\] là:
\[\left[ d \right]:\,y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = \left[ {1 + {2 \over {{{\left[ {{x_o} - 1} \right]}^2}}}} \right]\left[ {x - {x_o}} \right]\]
\[\left[ {x \ne 1} \right]\]
Vì \[\left[ {3;3} \right] \in d\] nên \[3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left[ {{x_o} - 1} \right]}^2} + 2} \over {{{\left[ {{x_o} - 1} \right]}^2}}}\left[ {3 - {x_o}} \right]\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ {3 - {x_o}} \right]{\left[ {{x_o} - 1} \right]^2} + 2\left[ {{x_o} - 1} \right]\cr&\,\,\,\, = \left[ {{x_o} - 2{x_o} + 3} \right]\left[ {3 - {x_o}} \right] \cr
& \Leftrightarrow {x_o} = 2;\,{y_o} = y\left[ 2 \right] = 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'\left[ 2 \right] = 3 \cr} \]
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[y = 3\left[ {x - 2} \right]\]hay \[y = 3x - 6.\]
Bài 56 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số \[y = {{{x^2}} \over {x + 1}}\]
b] Từ đồ thị \[[C]\] suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \[y = {{{x^2}} \over {\left| {x + 1} \right|}}\]
Giải
a] \[D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
\[\eqalign{
& y' = {{{x^2} + 2x} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-2;-1]\] và \[[1;0]\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-2\], \[y_{CĐ}=-4\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\] , \[y_{CT}=0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \]
Vậy \[x=-1\] là tiệm cận đứng.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - [x - 1]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {{1 \over {x + 1}}} \right] = 0\]
Vậy \[y=x-1\] là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên
Đồ thị
Đồ thị giao \[Ox\], \[Oy\] tại \[O[0;0]\]
\[x=-2\rightarrow y=-4\]
b] Ta có
\[y = {{{x^2}} \over {\left| {x + 1} \right|}} = \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over {x + 1}}\,\,\text{nếu} \,x > - 1 \hfill \cr
- {{{x^2}} \over {x + 1}}\,\,\text{ nếu }\,x < - 1 \hfill \cr} \right.\]
Giữ nguyên phần đồ thị \[[C]\] ở bên phải tiệm cận đứng \[x = -1\] và lấy đối xứng của phần \[[C]\] bên trái tiệm cận đứng qua trục hoành.