Bài 62 trang 124 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Chứng minh rằng:
\[a + b + b \le {1 \over 2}[{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}].\]
Với a, b, c là những số dương tùy ý.
Gợi ý làm bài
Theo bài 7 ta có:
\[{a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\], do đó
\[a \le {1 \over 2}[{a^2}b + {1 \over b}]\]
Tương tự: \[b \le {1 \over 2}[{b^2}c + {1 \over c}]\]
\[c \le {1 \over 2}[{c^2}a + {1 \over a}]\]
Cộng từng vế ba bất đẳng thức này ta được điều phải chứng minh.
Bài 63 trang 124 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện\[{a^3} > 36\] và abc = 1
Xét tam thức bậc hai \[f[x] = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + {{{a^2}} \over 3}\]
a] Chứng minh rằng\[f[x] > 0,\forall x\];
b] Từ câu a] suy ra \[{{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\]
Gợi ý làm bài
a] f[x] có
\[\eqalign{
& \Delta = {a^2} - 4[ - 3bc + {{{a^2}} \over 3}] = {{ - {a^2}} \over 3} + 12bc \cr
& = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \]
\[ = {{36 - {a^3}} \over {3a}} < 0\] [do giả thiết \[{a^3} > 36\]]
=>\[f[x] > 0,\forall x\]
b]\[{{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\]
\[ \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {[b + c]^2} - 2bc > bc + a[b + c]\]
\[ \Leftrightarrow {[b + c]^2} - a[b + c] - 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\]
\[ \Leftrightarrow f[b + c] > 0\] đúng vì \[f[x] > 0,\forall x.\]
Bài 64 trang 124 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m.
\[[m - 1].\sqrt x \le 0\]
Gợi ý làm bài
Điều kiện của bất phương trình là\[x \ge 0\]
Nếu\[m \le 1\] \[m - 1 \le 0\] ,bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi\[x \ge 0\]
Nếu m > 1 thì m 1 > 0, bất phương trình đã cho tương đương với
\[\sqrt x \le 0 \Leftrightarrow x = 0\]
Trả lời: Nếu\[m \le 1\] thì tập nghiệm của bất phương trình là\[{\rm{[}}0; + \infty ]\]
Nếu m > 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là {0}