Bài 63 trang 100 sgk toán 8 tập 1
Tìm \[x\] trên hình 90.
Bài giải:
Kẻ \[BH CD\]
Tứ giác \[ABHD\] có \[3\] góc vuông nên là hình chữ nhật.
Suy ra \[DH =AB= 10\]
Nên \[HC = 15-10=5\].
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \[BHC\]
\[\eqalign{
& B{H^2} = B{C^2} - H{C^2} \cr&= {13^2} - {5^2} = 169 - 25 = 144 \cr
& BH = x = \sqrt {144} = 12 \cr} \]
Vậy \[x = 12\].
Bài 64 trang 100 sgk toán 8 tập 1
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Các tia phân giác của các góc \[A, B, C, D\] cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng \[EFGH\] là hình chữ nhật.
Bài giải:
Theo giả thiết \[ABCD\] là hình bình hành nên theo tính chất của hình bình hành ta có:
\[\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\] [1]
Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có:
\[\widehat A + \widehat C + \widehat B + \widehat D = {360^0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat A + \widehat B = {{{{360}^0}} \over 2} = {180^0}\]
\[AG\] là tia phân giác góc \[\widehat A\] nên ta có: \[\widehat {BAG} = {1 \over 2}\widehat A\]
\[BG\] là tia phân giác góc \[\widehat B\] nên ta có: \[\widehat {ABG} = {1 \over 2}\widehat B\]
Do đó: \[\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {1 \over 2}\left[ {\widehat A + \widehat B} \right] = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\]
Xét tam giác \[AGB\] có:\[\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}\] [3]
Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:
\[\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[\widehat {AGB} = {90^0}\]
Chứng minh tương tự ta được: \[\widehat {DEC} = \widehat {EHG} = {90^0}\]
Tứ giác \[EFGH\] có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Bài 65 trang 100 sgk toán 8 tập 1
Tứ giác \[ABCD\] có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \[E, F, G, H\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DA\]. Tứ giác \[EFGH\] là hình gì ? Vì sao ?
Bài giải:
Ta có \[EB = EA, FB = FC\] [do \[E,F\] là trung điểm của \[AB,BC\]]
\[EF\] là đường trung bình của \[ABC\]
Do đó \[EF // AC\] [1]
Do \[G,H\] là trung điểm của \[CD,DA] nên
\[ HG\] là đường trung bình của \[ADC\]
Do đó \[HG // AC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[EF // HG\]
Chứng minh tương tự \[EH // FG\]
Do đó \[EFGH\] là hình bình hành.
Ta có: \[EF // AC\] và \[EH//BD\] mà \[AC\bot BD\] nên \[EF\bot EH\]
Hay\[\widehat{FEH} = 90^0\]
Hình bình hành \[EFGH\] có\[\widehat{E} = 90^0\]nên là hình chữ nhật [theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật].
Bài 66 trang 100 sgk toán 8 tập 1
Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường \[AB\] thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn [h.92]. Đội đã dựng các điểm \[C, D, E\] như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng \[EF\] vuông góc với \[DE\]. Vì sao \[AB\] và \[EF\] cùng nằm trên một đườngthẳng ?
Bài giải:
Tứ giác \[BCDE\] có:
\[BC // DE\] [vì cùng vuông góc với \[CD\]]
\[BC = DE\] [giả thiết]
\[\widehat {BCD} = \widehat {EDC} = {90^0}\]
do đó \[BCDE\] là hình chữ nhật
Suy ra: \[\widehat {CBE} = \widehat {BED} = {90^0}\]
Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {FED} = {90^0}\] [giả thiết]
Ta có: \[\widehat {CBA} + \widehat {CBE} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]
Suy ra \[A,B,E\] thẳng hàng
\[\widehat {FED} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]
Suy ra \[B,E,F\] thẳng hàng
Vậy \[AB\] và \[EF\] cùng nằm trên một đường thẳng.