Bài 9 trang 215 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm các giá trị nguyên của k sao cho phương trình\[[k - 12]{x^2} + 2[k - 12]x + 2 = 0\] vô nghiệm
Gợi ý làm bài
Phương trình \[[k - 12]x_{}^2 + 2[k - 12]x + 2 = 0\] vô nghiệm
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = k - 12 = 0 \Leftrightarrow k = 12[1] \hfill \cr
\Delta ' = [k - 12]_{}^2 - [k - 12].2 < 0[2] \hfill \cr} \right.\]
Xét [2]:
Đặt \[k - 12 = t \Rightarrow t_{}^2 - 2t < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 2\]
Vậy: \[0 < k - 12 < 2 \Leftrightarrow 12 < k < 14\], mà k nguyên \[\Rightarrow k = 13\,[3]\]
Từ [1] và [3]\[ \Rightarrow k = 12,k = 13\]
Bài 10 trang 215 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Cho phương trình bậc hai
\[a{x^2} - 2[a + 1]x + {[a + 1]^2}a = 0\] [E]
Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm [nếu có] của phương trình trên.
a] Với giá trị nào của a, phương trình [E] có nghiệm?
b] Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của [E].
c]Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.
d] Với những giá trị nào của a, các nghiệm\[{x_1},{x_2}\] của [E] thỏa mãn hệ thức\[{x_1} = 3{x_2}\]?Tìm các nghiệm \[{x_1},{x_2}\] trong mỗi trường hợp đó.
Gợi ý làm bài
a] Phải có:
\[\Delta = {[a + 1]^2} - {[a + 1]^2}{a^2} = {[a + 1]^2}[1 - {a^2}] \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow - 1 \le a \le 1,a \ne 0\]
b] Ta có:
\[P = {[a + 1]^2}\]
\[P = 0 \Leftrightarrow a = - 1\], khi đó\[{x_1} = {x_2} = 0\]
\[P > 0,\forall a \ne - 1\] khi đó\[{x_1},{x_2}\] cùng dấu.
Mặt khác\[S = {{2[a + 1]} \over a}\]
Suy ra:
Với\[0 < a \le 1\] thì hai nghiệm của phương trình [E] đều dương;
Với\[ - 1 \le a < 0\] thì hai nghiệm của phương trình [E] đều âm;
c] Từ\[S = {{2[a + 1]} \over a}\] suy ra\[a = {2 \over {S - 2}}\]
Do đó:\[P = {\left[ {{2 \over {S - 2}} + 1} \right]^2} = {{{S^2}} \over {{{[S - 2]}^2}}} \Leftrightarrow {[S - 2]^2}P - {S^2} = 0\]
d] \[\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = {{2[a + 1]} \over a} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 4{x_2} = {{2[a + 1]} \over a}\]
\[\left\{ \matrix{
{x_1}{x_2} = {[a + 1]^2} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 3x_2^2 = {[a + 1]^2}.\]
Suy ra:
\[{[a + 1]^2}[4{a^2} - 3] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1 \hfill \cr
a = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
a = - {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Với a = - 1 ta có: \[{x_1} = {x_2} = 0\]
Với\[a = {{\sqrt 3 } \over 2}\] ta có:\[{x_2} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 2}\]
Với\[a = - {{\sqrt 3 } \over 2}\] ta có:\[{x_2} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 2}\]
Bài 11 trang 215 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải và biện luận các hệ phương trình sau
a] [1] \[\left\{ \matrix{
x + ay = 1 \hfill \cr
ax + y = 2a; \hfill \cr} \right.\]
b] [2] \[\left\{ \matrix{
ax + y = a \hfill \cr
x + ay = {a^2}. \hfill \cr} \right.\]
Gợi ý làm bài
a] Với\[a \ne \pm 1\] hệ phương trình [1] có nghiệm\[x = {{1 - 2{a^2}} \over {1 - {a^2}}};y = {a \over {1 - {a^2}}}\]
Với\[a = \pm 1\] hệ phương trình [1] vô nghiệm.
b] Nếu\[a \ne \pm 1\] thì thì x = 0, y = a;
Nếu a = -1 thì x = t + 1, y = 1\[[t \in R]\]
Nếu a = 1 thì\[x = t,y = 1 - t[t \in R]\]
Bài 12 trang 215 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Giải phương trình sau
a] [1] \[\left\{ \matrix{
[m - 2]x + 27y = 4,5 \hfill \cr
2x + [m + 1]y = - 1; \hfill \cr} \right.\]
b] [2] \[\left\{ \matrix{
3x + my = 3 \hfill \cr
mx + 3y = 3. \hfill \cr} \right.\]
Gợi ý làm bài
a] Hệ phương trình [3] tương đương với
\[\left\{ \matrix{
[{m^2} - m - 56]y = - m - 7 \hfill \cr
2x + [m + 1]y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Từ đó nếu \[{m^2} - m - 56 \ne 0\] thì hệ có nghiệm
Ta xét:
\[{m^2} - m - 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = - 7 \hfill \cr
m = 8 \hfill \cr} \right.\]
Với m = -7 hệ phương trình [3] trở thành
\[\left\{ \matrix{
- 9x + 27y = 4,5 \hfill \cr
2x - 6y = - 1 \hfill \cr} \right.[3a]\]
Vì \[- {9 \over 2} = {{27} \over { - 6}} = {{4,5} \over { - 1}}\] nênhệ phương trình [3a] có vô số nghiệm.
Với m = 8 ta có hệ
\[\left\{ \matrix{
6x + 27y = 4,5 \hfill \cr
2x + 9y = - 1 \hfill \cr} \right.[3b]\]
Vì \[{6 \over 2} = {{27} \over 9} \ne {{4,5} \over { - 1}}\] cho nên hệ phương trình [3b] vô nghiệm.
Trả lời: m = -7.
b] Hệ phương trình [4] tương đương với
\[\left\{ \matrix{
[9 - {m^2}]x = 9 - 3m \hfill \cr
mx + 3y = 3 \hfill \cr} \right.\]
Tương tự câu a] ta xét trường hợp\[9 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 3\]
Với m = 3 ta có hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
3x + 3y = 3 \hfill \cr
3x + 3y = 3 \hfill \cr} \right.[4{\rm{a}}]\]
Rõ ràng hệ phương trình [4a] có vô số nghiệm.
Với m = -3 hệ phương trình [4] trở thành
\[\left\{ \matrix{
3x - 3y = 3 \hfill \cr
- 3x + 3y = 3 \hfill \cr} \right.[4b]\]
Vì\[{3 \over { - 3}} = {{ - 3} \over 3} \ne {3 \over 3}\] cho nên hệ phương trình [4b] vô nghiệm.
Trả lời: m = 3.