ĐỀ 1
Câu 1 trang 224 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [4 điểm]
Cho hàm số \[y = 2 - {2 \over {x - 2}}\]
1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
2] Từ [C] vẽ đồ thị của hàm số \[y = |{{2[x - 3]} \over {x - 2}}|\][1]
Dựa vào đồ thị [1], hãy biện luận theo k số nghiệm của phương trình \[|{{2[x - 3]} \over {x - 2}}| = {\log _2}k\] [2]
3] Tìm các điểm thuộc [C] có tọa độ nguyên.
Hướng dẫn làm bài
1] Vẽ đồ thị hàm số
2] Đồ thị của [1] được suy ra từ đồ thị [C] bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành
Số nghiệm của [2] là số giao điểm của đồ thị [1] với đường thẳng\[y = {\log _2}k\]
Dựa trên đồ thị, ta suy ra:
* Phương trình [2] vô nghiệm nếu
\[ - \infty < {\log _2}k < 0 \Leftrightarrow< k < 1\]
* Phương trình [2] có một nghiệm nếu\[{\log _2}k = 0\] hoặc \[{\log _2}k = 2\], tức là khi k = 1 hoặc k = 4.
* Phương trình [2] có hai nghiệm nếu \[0 < {\log _2}k < 2\]hoặc \[{\log _2}k > 2\], tức là khi 1 < k < 4 hoặc k > 4.
Kết luận: Phương trình vô nghiệm khi 0 < k < 1 ;
Phương trình có một nghiệm khi k = 1 hoặc k = 4 ;
Phương trình có hai nghiệm khi 1 < k < 4 hoặc k > 4.
3] Ta có \[y = 2 - {2 \over {x - 2}}\]nên y nguyên khi và chỉ khi x 2 là ước của 2, tức là \[x - 2 = \pm 1\]hoặc \[x - 2 = \pm 2\] . Từ đó, ta có các điểm có tọa độ nguyên là [3; 0], [1; 4], [4; 1] và [0; 3].
Câu 2 trang 224 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [3 điểm]
Giải các phương trình sau:
1] \[{32^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = 0,{25.128^{{{x + 17} \over {x - 3}}}}\]
2] \[{\log _2}[\cot x + \tan 3x] - 1 = {\log _2}[\tan 3x]\]
Hướng dẫn làm bài
1] Vì \[32 = {2^5};0,25 = {1 \over 4} = {2^{ - 2}};128 = {2^7}\], nên phương trình đã cho tương đương với:
\[{2^{{{5[x + 5]} \over {x - 7}}}} = {2^{{{7[x + 17]} \over {x - 3}} - 2}} \Leftrightarrow{{5x + 25} \over {x - 7}} = {{5x + 125} \over {x - 3}} \Leftrightarrowx = 10\] [thỏa mãn điều kiện \[x \ne 7,x \ne 3\]]
2] Điều kiện
\[\left\{ {\matrix{{\cot x + \tan 3x > 0} \cr {\tan 3x > 0} \cr} } \right.\]
Phương trình đã cho tương đương với \[\cot x + \tan 3x = 2\tan 3x\]
\[\Leftrightarrow\cot x = \tan 3x\] [*]
\[\Leftrightarrow3x = {\pi \over 2} - x + k\pi \Leftrightarrowx = {\pi \over 8} + {{k\pi } \over 4},k \in Z\]
Để chọn những góc thỏa mãn điều kiện, trước hết từ [*] suy ra và phải cùng dấu với nhau.
Lần lượt cho k = 0, 1, 2, ,7, ta chọn được những góc không thỏa mãn điều kiện.
Khi đó, nghiệm của phương trình đã cho là \[x = {\pi \over 8} + k\pi \] và \[x = {{3\pi } \over 8} + k\pi ,k \in Z\]
Câu 3 trang 224 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [3 điểm]
1] Tính tích phân \[\int\limits_0^2 {\sqrt {1 + 2{x^2}} xdx} \] [đặt \[t = \sqrt {1 + 2{x^2}} \]]
2] Tìm modun của số phức\[z = {{ - 8 - 3i} \over {1 - i}}\]
Hướng dẫn làm bài
a] Đổi biến:\[t = \sqrt {1 + 2{x^2}}\Rightarrow{t^2} = 1 + 2{x^2}\]
\[\Rightarrow2tdt = 4xdx = > xdx = {{tdt} \over 2}\]
Và \[x = 0 \Rightarrowt = 1 ; x = 2\Rightarrow t = 3.\]
Vậy \[\int\limits_0^2 {\sqrt {1 + 2{x^2}} } dx = {1 \over 2}\int\limits_1^3 {{t^2}dt = {1 \over 6}{t^3}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right.} = 4{1 \over 3}\]
b] Áp dụng công thức \[|z| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\]. Đáp số: \[|z| = {{\sqrt {146} } \over 2}\]
ĐỀ 2.
Câu 1 trang 225 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [4,5 điểm]
Cho hàm số \[y = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + m - 1\]
1] Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị. Xác định m để một trong những điểm cực trị đó thuộc trục Ox.
2] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi \[m = {1 \over 3}\]
3] Viết phương trình tiếp tuyến với [C] , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \[y = {1 \over 3}x - 2\]
4] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi [C] , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = 2.
Hướng dẫn làm bài
1] \[y' = - {x^2} + 2x;y' = 0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = 2} \cr} } \right.\]
Ta có y > 0 với \[x \in [0;2]\]và y < 0 khi x thuộc các khoảng \[[ - \infty ;0],[2; + \infty ]\]. Vậy với mọi m, đồ thị của hàm số luôn có điểm cực tiểu [0; m 1] và điểm cực đại \[[2;m + {1 \over 3}]\]. Một trong các điểm cực trị nằm trên trục Ox khi và chỉ khi hoặc \[m + {1 \over 3} = 0 \Leftrightarrowm = - {1 \over 3}\]hoặc \[m 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\]
2] Với \[m = {1 \over 3}\], ta có \[y = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - {2 \over 3}\]
3] Hệ số góc của tiếp tuyến là -3. Hoành độ tiếp điểm thỏa mãn phương trình
\[ - {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\Rightarrow \left[ {\matrix{{{x_1} = - 1} \cr {{x_2} = 3} \cr} } \right.\]
Các tung độ của tiếp điểm tương ứng là \[{y_1} = {2 \over 3};{y_2} = - {2 \over 3}\]
Vậy ta có hai tiếp tuyến \[y = - 3x - {7 \over 3}\] và \[y = - 3x + {{25} \over 3}\]
4] Vì I[1; 0] là tâm đối xứng của [C] nên hình phẳng đã cho gồm hai hình đối xứng với nhau qua điểm I [1; 0] . Vậy : \[S = 2\int\limits_0^1 {[{1 \over 3}{x^3} - {x^2} + {2 \over 3}]dx = {5 \over 6}} \][đơn vị thể tích]
Câu 2 trang 225 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [3 điểm]
1] Giải phương trình \[{3^{{x \over 5}}} + {3^{{{x - 10} \over {10}}}} = 84\]
2] Giải bất phương trình \[{\log _{\sqrt 2 }}[3 - 2x] > 1\]
Hướng dẫn làm bài
1] Đặt \[{3^{{x \over {10}}}} = t[t > 0]\], ta có:
\[{t^2} + {t \over 3} = 84 \Leftrightarrow3{t^2} + t - 252 = 0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{t = 9} \cr {t = - 9{1 \over 3}[l]} \cr} } \right.\]
Như vậy \[{3^{{x \over {10}}}} = {3^2} \Leftrightarrowx = 20\]
2] Điều kiện: \[3 - 2x > 0 \Leftrightarrowx < {3 \over 2}\]
Bất phương trình đã cho tương đương với \[3 - 2x > \sqrt 2 \]
\[\Leftrightarrowx < {{3 - \sqrt 2 } \over 2}\] [thỏa mãn điều kiện]
Câu 3 trang 225 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [2,5 điểm]
1] Tính tích phân \[\int\limits_0^3 {{{\sqrt {x + 1} + 2} \over {\sqrt {x + 1} + 3}}} dx\] [đặt \[t = \sqrt {x + 1} \]]
2] Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện:
a] \[|z + 1| = |z - i|\] b] \[|z{|^2} + 3z + 3\overline z = 0\]
Hướng dẫn làm bài
1] Đặt \[t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1\]. Do đó, \[dx = 2tdt\]
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 3 thì t = 2.
Vậy \[I = \int\limits_1^2 {{{[t + 2].2tdt} \over {t + 3}} = } \int\limits_1^2 {[2t - 2 + {6 \over {t + 3}}]dt = 1 + 6\ln {5 \over 4}} \]
2] a] Giả sử \[z = x + yi\]. Ta có: \[|x + 1 + yi| = |x + [y - 1]i|\]
\[ \Leftrightarrow|[x + 1] + yi{|^2} = |x + [y - 1]i{|^2}\]
\[ \Leftrightarrow{[x + 1]^2} + {y^2} = {x^2} + {[y - 1]^2}\]
\[\Leftrightarrow{x^2} + 1 + 2x + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 1 - 2y\]
\[\Leftrightarrow2x = -2y \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrowy = -x\]
Trên mặt phẳng tọa độ, đó là đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.
Cách 2. Vế phải là khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới điểm biểu diễn \[{z_0} = 0 + i\], vế trái là khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới điểm biểu diễn \[{z_1} = - 1 + 0i\]. Vậy phải tìm các điểm cách đều hai điểm biểu diễn z0 và z1
b] Ta có:\[|x + yi{|^2} + 3[x + yi] + 3[x - yi] = 0\]
\[\Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow{[x + 3]^2} + {y^2} = 9\]
Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 3 và tâm là điểm [-3; 0]
ĐỀ 3.
Câu 1 trang 225 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [4 điểm]
Cho hàm số:\[y = - {x^3} + 3x - 2\]
1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
2] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[1; 0].
3] Biện luận theo m số nghiệm của phương trình\[ - {x^3} + 3x - 2 = {\log _3}m\]
Hướng dẫn làm bài
1] Vẽ biểu đồ
2] Ta có: y[1] = 0. Vậy phương trình của tiếp tuyến là y = 0
3] Dựa vào đồ thị [C] và đường thẳng \[y = {\log _3}m\], ta có:
* Khi \[{\log _3}m < - 4 \Leftrightarrowm < {1 \over {81}}\], phương trình có một nghiệm
* Khi \[{\log _3}m = - 4 \Leftrightarrowm = {1 \over {81}}\], phương trình có hai nghiệm.
* Khi \[0 > {\log _3}m > - 4 \Leftrightarrow1 > m > {1 \over {81}}\], phương trình có ba nghiệm.
* Khi \[{\log _3}m = 0 \Leftrightarrowm = 1\], phương trình có hai nghiệm.
* Khi \[{\log _3}m > 0 \Leftrightarrowm > 1\], phương trình có một nghiệm.
Kết luận:
* Phương trình có một nghiệm khi m > 1 hoặc \[m < {1 \over {81}}\]
* Phương trình có hai nghiệm khi m = 1 hoặc \[m = {1 \over {81}}\]
* Phương trình có ba nghiệm khi \[{1 \over {81}} < m < 1\].
Câu 2 trang 225 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [3 điểm]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1] \[f[x] = \ln [{x^2} + x - 2]\]trên đoạn [3; 6]
2] \[f[x] = {\cos ^2}x + \cos x + 3\]
Hướng dẫn làm bài
1] f[x] xác định trên R\[-2; 1] nên xác định trên đoạn [3; 6]
\[f'[x] = {{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}\]
Ta thấy \[f{\rm{ }}\left[ x \right]{\rm{ }} > {\rm{ }}0{\rm{ }},\forall x \in {\rm{[}}3;6]\]nên trên đoạn [3; 6] hàm số f[x] đồng biến.
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}3;6]} f[x] = f[3] = \ln 10;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}3;6]} f[x] = f[6] = \ln 40\]
2] Vì f[x] là hàm số tuần hoàn chu kì \[2\pi \], nên ta chỉ cần xét f[x] trên đoạn \[{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}\]
\[f'[x] = - 2\sin x\cos x - \sin x;f'[0] = 0 \Leftrightarrowx = {\rm{\{ }}0;{{2\pi } \over 3};\pi ;{{4\pi } \over 3};2\pi {\rm{\} }}\]
\[f[0] = f[2\pi ] = 5;f[{{2\pi } \over 3}] = 2{3 \over 4};f[\pi ] = 3;f[{{4\pi } \over 3}] = 2{3 \over 4}\]
Vậy \[\mathop {\min }\limits_R f[x] = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}} f[x] = 2{3 \over 4};\mathop {\max }\limits_R f[x] = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}} f[x] = 5\]
Câu 3 trang 226 sách bài tập [SBT] Giải tích 12 [3 điểm]
1] Tính các tích phân sau:
a] \[\int\limits_0^1 {[3{x^2} + 2x + 1]{e^{2x}}dx}\] b]\[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\cos 3x} .\cos 4xdx\]
2] Tìm modun của các số phức sau:
a] \[z = [ - 4 + i\sqrt {48} ][2 + i]\] b] \[z = {{1 + i} \over {2 - i}}\]
Hướng dẫn làm bài
1] a] Đáp số :\[{7 \over 4}{e^2} - {3 \over 4}\]
b] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\cos 3x\cos 4xdx} = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {[\cos 7x + \cos x]dx = {3 \over 7}} \]
2] a] \[z = [ - 4 + i\sqrt {48} ][2 + i]\]nên
\[|z| = | - 4 + i\sqrt {48} |.|2 + i| = \sqrt {{{[ - 4]}^2} + {{[\sqrt {48} ]}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} = 8\sqrt 5 \]
b] \[z = {{1 + i} \over {2 - i}}\] nên \[|z| = {{|1 + i|} \over {|2 - i|}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt {{2^2} + {{[ - 1]}^2}} }} = \sqrt {{2 \over 5}} \].